Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.2 Größter gemeinsamer Teiler 19
2.2 Der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen
Zahlen
Schon in der vierten Klasse der Grundschule erfahren SchülerInnen die “Division
mit Rest” als “so oft wie möglich zu wiederholende Subtraktion”.
Satz über Division mit Rest
Ist (a, b) ∈ Z × N 1 , so gibt es genau ein Paar (q, r) ∈ Z × A b , sodass gilt:
(2.1) a = q b + r.
Beweis (zwei Teile, direkt, r1):
i) Existenz: Wir setzen q : = max {u ∈ Z ; a − u b ≥ 0} und r : = a − q b, wobei
der Maximumsatz durch Fallunterscheidung auf Z übertragen wird. Dann ist
definitionsgemäß r ≥ 0 und r − b = a − (q + 1) b < 0. Also gilt (2.1).
ii) Eindeutigkeit: Sind (q , r) und (q ′ , r ′ ) aus Z × A b mit a = q b + r und
a = q ′ b + r ′ , so folgt (q − q ′ ) b = r ′ − r. Damit erhalten wir |q − q ′ | b = |r ′ − r| ≤
max {r, r ′ } < b. Division durch b ergibt |q − q ′ | < 1, sodass q = q ′ und damit
auch r = r ′ gelten muss.
Mit Hilfe der “Gauß-Klammer” [x] : = max {u ∈ Z ; u ≤ x} können q und r
explizit angegeben werden:
[ a
]
[ a
]
(2.2) q = und r = a − b = : mod (a, b). 1
b b
Bezeichnung des größten gemeinsamen Teilers
Der größte gemeinsame Teiler von n Zahlen a 1 , . . . , a n ∈ Z mit n ∈ N 2 und
mit (a 1 , . . . , a n ) ≠ (0, . . . , 0) wird mit ggT (a 1 , . . . , a n ) bezeichnet.
Satz über die ggT-Rekursion
Ist (a, b) ∈ Z × N 1 und r : = mod (a, b), so gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).
1 In vielen Computeralgebrasystemen wird div (a, b) für q und mod (a, b) für r gebraucht.