Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

3.7 Aufgaben und Probleme 79
[Hinweis: Ist n durch p 1 · · · p k teilbar, so gilt p 1 · · · p κ p κ+1 · · · p k ≤ n mit κ : = [ k
2]
.
Folgern Sie daraus unter Verwendung von Aufgabe 3.15, dass ein p ∈ P mit p ∤ n
und p 2 < n existiert.]
Die nächsten dreizehn Probleme stammen aus dem Bundeswettbewerb Mathematik,
die übrigen sieben aus der Internationalen Mathematikolympiade.
Problem 14:
Für die natürlichen Zahlen x und y gelte 2x 2 + x = 3y 2 + y. Man beweise, dass
dann x − y , 2x + 2y + 1 und 3x + 3y + 1 Quadratzahlen sind.
Problem 15:
Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen n mit der folgenden Eigenschaft:
Jede natürliche Zahl, deren Dezimaldarstellung aus n Ziffern besteht, und zwar
genau einer Sieben und n − 1 Einsen, ist eine Primzahl.
Problem 16:
Unter der Standarddarstellung einer positiven ganzen Zahl n wird nachfolgend die
Darstellung von n im Dezimalsystem verstanden, bei der die erste Ziffer verschieden
von 0 ist. Jeder positiven ganzen Zahl n wird nun eine Zahl f(n) zugeordnet,
indem in der Standarddarstellung von n die letzte Ziffer vor die erste gestellt
wird; Beispiele: f(1992) = 2199, f(2000) = 200.
Man bestimme die kleinste positive ganze Zahl n, für die f(n) = 2n gilt.
Problem 17:
Es sei f(x) = x n , wobei n eine natürliche Zahl ist. Kann dann die Dezimalzahl
0, f(1)f(2)f(3) . . . periodisch sein Die Antwort ist zu begründen. (Beispiel:
Für n = 2 geht es um 0, 1 4 9 16 25 . . . , für n = 3 ist die betrachtete Zahl
0, 1 8 27 64 125 . . . .)
Problem 18:
Man bestimme alle Tripel (x, y, z) ganzer Zahlen, für die gilt: 2 x + 3 y = z 2 .