Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

154 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 5.3
Wegen F (r 2 x 1 + s 2 y 1 , t 2 x 1 + u 2 y 1 ) = H (x 1 , y 1 ) für alle x 1 , y 1 ∈ Z ist damit F
zu H äquivalent.
Um alle wesentlichen Invarianten der Formenklassen, in die die Menge der binären
quadratischen Formen aufgrund der Äquivalenzrelation zerfällt, in einem Satz
zusammenfassen zu können, führen wir schon hier einen Begriff ein, der erst am
Schluss dieses Abschnitts benötigt wird.
Definition der primitiven Form
Eine Form (a, b, c) heißt primitiv, wenn ggT (a, b, c) = 1 ist.
Satz über Invarianten der Formenklassen
Es sei F = (a, b, c) zu G = (a 1 , b 1 , c 1 ) äquivalent. Dann gilt:
a) dis (a 1 , b 1 , c 1 ) = dis (a, b, c);
b) Aus dis (a, b, c) < 0 und a > 0 folgt a 1 > 0;
c) W G = W F ;
d) Ist F primitiv, so stellt auch G eine primitive Form dar.
Beweis (direkt, r1):
a) Aus a(rx + sy) 2 + b(rx + sy)(tx + uy) + c(tx + uy) 2 = a 1 x 2 + b 1 xy + c 1 y 2 für
alle x, y ∈ Z folgt durch Koeffizientenvergleich
(5.11)
(5.12)
(5.13)
a 1 = ar 2 + brt + ct 2 ,
b 1 = 2ars + b(ru + st) + 2ctu,
c 1 = as 2 + bsu + cu 2 .
Damit gilt b 2 1 −4a 1 c 1 = (2ars + b(ru + st) + 2ctu) 2 −4(ar 2 +brt+ct 2 )(as 2 +bsu+
cu 2 ) = a 2 (4r 2 s 2 − 4r 2 s 2 ) + b 2 (r 2 u 2 + 2rstu + s 2 t 2 − 4rstu) + c 2 (4t 2 u 2 − 4t 2 u 2 ) +
4ab (r 2 su + rs 2 t − r 2 su − rs 2 t) + 4ac (2rstu − r 2 u 2 − s 2 t 2 ) + 4bc (rtu 2 + st 2 u−
rtu 2 − st 2 u) = (b 2 − 4ac)(ru − st) 2 = b 2 − 4ac.
b) Nach (5.11) ist a 1 = F (r, t) und aus ru − st = 1 folgt (r, t) ≠ (0, 0). Damit
ergibt (5.10), dass a 1 > 0 gilt.