Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

134 Aufgaben und Probleme 4.9
Problem 43:
Gibt es 1983 verschiedene positive ganze Zahlen kleiner oder gleich 10 5 , unter denen
keine drei die aufeinanderfolgenden Glieder einer arithmetischen Folge sind
(Die Antwort ist zu begründen.)
Problem 44:
Es seien m und n natürliche Zahlen mit 1 ≤ m, n ≤ 1981.
Es gelte (n 2 − m n − m 2 ) 2 = 1. Man bestimme den maximalen Wert von m 2 + n 2 .
Problem 45:
a) Für welche Werte von n > 2 gibt es n aufeinanderfolgende positive ganze
Zahlen so, dass die größte dieser Zahlen ein Teiler des kleinsten gemeinsamen
Vielfachen der übrigen n − 1 Zahlen ist
b) Für welche Werte von n > 2 gibt es genau eine Folge mit dieser Eigenschaft
Problem 46:
Seien p und q natürliche Zahlen, sodass p q = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . − 1
1318 + 1
1319
gilt. Man beweise, dass p durch 1979 teilbar ist.
Problem 47:
Bei einem Sportwettkampf wurden m Medaillen im Laufe von n Tagen (n > 1)
verliehen.
Am 1. Tage wurden eine Medaille und 1 der übrigen m−1, am 2. Tage 2 Medaillen
7
und 1 des nun verbliebenen Restes verliehen usw. Schließlich wurden am n-ten
7
Tage gerade n Medaillen vergeben, ohne dass noch welche übrig blieben. Wieviel
Tage dauerte der Wettkampf, und wieviel Medaillen wurden insgesamt verliehen
Problem 48:
Man beweise, dass die Folge (2 n+2 − 3) n∈N
mindestens eine unendliche Teilfolge
mit paarweise teilerfremden Elementen enthält.
Problem 49:
Es seien m und n beliebige nichtnegative ganze Zahlen. Es ist zu zeigen, dass
(2m)! (2n)!
mit 0! = 1 eine ganze Zahl ist.
m! n! (m+n)!