Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 225
Man nimmt an, dass die Zahlen n 1 , . . . , n 15 , die die Bedingungen des Problems
erfüllen, alle zerlegbar sind. Schreibt man aufgrund des Satzes über den kleinsten
Primteiler (Seite 47) q i : = kP (n i ) für i = 1, . . . , 15 und setzt q : = max {q 1 , . . . ,
q 15 } , so stellen q 1 , . . . , q 15 verschiedene Primzahlen dar, weil n 1 , . . . , n 15 als teilerfremd
vorausgesetzt wurden. Damit ist q ≥ p 15 = 47. Für die Zahl n j mit
q = kP (n j ) folgt dann n j ≥ q 2 ≥ 47 2 = 2209 - im Widerspruch zur vorgegebenen
Schranke 1992.
Die Probleme 33, 43 und 55 lassen sich mit drei verschiedenen Varianten der Extremfallstrategie
in Angriff nehmen. Unter allen Problemen im Buchtext, die in
der Aufgabenstellung die Suche nach etwas “Kleinstem” oder “Größtem” enthalten,
ist Problem 55 das einzige, bei dem die Extremfallstrategie anwendbar ist.
Solche Minimierungs- oder Maximierungsaufforderungen sind also kein Signal
bei den Problemen 16, 19, 21, 38, 44, 51 und 60. Auch sonst gibt es bei dieser Strategie
keine deutlichen Signale. Ähnlich ist die Situation bei der Abstiegsstrategie,
die wir am Schluss als einen nur in der Zahlentheorie vorkommenden Spezialfall
der Extremfallstrategie behandeln werden.
Visualisierungsstrategie
Bei dem Beweis des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes (Seite 114) war eine
Figur sehr hilfreich. Aber es wurde auch erwähnt, dass sich die zugehörige Visualisierungsstrategie
in der Zahlentheorie nur selten einsetzen lässt. In unserer
Problemsammlung kommt sie - abgesehen von Problem 25, bei dem die Figur
zur Aufgabenstellung gehört, - überhaupt nicht vor. Wir bringen trotzdem das
Beispiel 1.2.3 aus [13], weil dabei die geometrische Deutung von arithmetischen
Termen nicht auf der Hand liegt.
Problem 78
Beweisen Sie, dass n−1 ∑ [ km
n
k=1
ggT (m, n) = 1 gilt.
]
=
1
2 (m − 1)(n − 1) für alle m, n ∈ N 2 mit
Das Vorgehen bei dem [ Beweis des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes legt es
]
km
nahe, die Summanden
n als Gitterpunktanzahlen zu deuten. Setzen wir Pk
( )
: = k, km , k = 1, . . . , n−1, so liegen die Punkte P
n
[ k auf der Geraden Graph (x ↦→
]
mx
n , x ∈ R) km
. Für km ≥ n ist dann
n die Anzahl der Punkte (k, j), j =