Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.3 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 159
endliche abelsche Gruppe bilden, die Klassengruppe zur Diskriminante D genannt
wird. Wie auf Seite 97 erwähnt wurde, war zur Zeit von Gauß der Begriff der
Gruppe noch nicht bekannt. Das folgende zusammenfassende Theorem bereitet
zugleich den Übergang zu der neueren Theorie der “quadratischen Zahlkörper”
im nächsten Abschnitt vor, wo auch die Skizze eines “modernen” Beweises des
Theorems zu finden ist. Da dieser Teil nur ein Ausblick sein soll, beschränken wir
uns auf primitive, positiv-definite Formen.
Theorem über die Klassengruppe
Es seien f 1 = : (a 1 , b 1 , c 1 ) und f 2 = : (a 2 , b 2 , c 2 ) primitive, positiv-definite
Formen mit der Diskriminante D. Ist g : = ggT (a 1 , a 2 , q) mit q : = b 1+b 2
2
und sind u, v, w ganze Zahlen, die a 1 u + a 2 v + qw = g erfüllen, so stellt
F = (a 3 , b 3 , c 3 ) mit a 3 : = a 1 a 2
g g
, b 3 : = b 2 + 2 a 2
g
mod
und c 3 : = b2 3−D
4a 3
D dar.
(
(q − b 2 ) v − c 2 w, a )
1
g
eine aus f 1 und f 2 componierte Form mit der Diskriminante
Die Composition von Formen, die zu f 1 beziehungsweise f 2 äquivalent sind,
ergibt eine Form aus der Äquivalenzklasse von F. Die Menge dieser Formenklassen
zusammen mit der durch Composition beliebiger Repräsentanten der
Klassen erklärten Verknüpfung stellt eine endliche abelsche Gruppe dar, deren
neutrales Element diejenige Klasse ist, die die Einheitsform 1, α, α−D
4
( )
mit α = mod (D, 4) enthält, und bei der die Klasse mit der reduzierten Form
(a, b, c) zu der Klasse mit der Form (a, −b, c) invers ist.
Aufgrund des Satzes über eindeutige Repräsentanten (Seite 156) bietet es sich
an, die Klassen positiv-definiter Formen jeweils durch die Composition der zugehörigen
reduzierten Formen zu verknüpfen. Da die positiv-definite Ergebnisform
in der Regel nicht reduziert ist, wird der folgende Reduktionsalgorithmus
benötigt, der sich direkt aus den Beweisen des Satzes über die Klassenanzahl
(Seite 155) und des Satzes über eindeutige Repräsentanten ergibt.
Es sei (a, b, c) eine primitive, positiv-definite Form. Solange nicht −a < b ≤ a ≤ c
gilt, werde G [ = (a 1 , b 1 , c 1 ) mit F (x + sy, y) = G(x, y) für alle x, y ∈ Z bestimmt,
]
a−b
wobei s : =
2a ist. Nach (5.11) bis (5.13) gilt a1 = a, b 1 = 2as + b, c 1 =