Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

144 Darstellung als Summe von Quadraten 5.2
(4, 2, 3)} (“zyklische Vertauschung”). Durch einfaches Ausmultiplizieren oder mit
Hilfe eines CAS erhält man auf beiden Seiten x 2 1 y 2 1 +x 2 1 y 2 2 +x 2 1 y 2 3 +x 2 1 y 2 4 +x 2 2 y 2 1 +
x 2 2 y 2 2 +x 2 2 y 2 3 +x 2 2 y 2 4 +x 2 3 y 2 1 +x 2 3 y 2 2 +x 2 3 y 2 3 +x 2 3 y 2 4 +x 2 4 y 2 1 +x 2 4 y 2 2 +x 2 4 y 2 3 +x 2 4 y 2 4. Damit
kann der Beweis des Satzes auf den Nachweis der Darstellbarkeit von Primzahlen
zurückgeführt werden.
ii) Als Vorstufe wird gezeigt, dass es zu jedem p ∈ P 3 ein µ ∈ I p−1 und
∑
(x 1 , . . . , x 4 ) ∈ N 4 gibt, sodass µ p = 4 x 2 i gilt. Aufgrund des Satzes über die Anzahl
quadratischer Reste (Seite 108) bestehen die Mengen x 2 ; x = 0, . . . , p−1 }
i=1
{
{
2
und − 1 − y 2 ; y = 0, . . . , p−1 }
aus jeweils p+1 modulo p inkongruenten Elementen.
Das sind zusammen p + 1 Zahlen, während modulo p nur höchstens
2
2
p
Werte inkongruent sein können. Also folgt mit Hilfe des Schubfachsatzes (Seite
85), dass es x, y ∈ N mit x < p 2 , y < p 2 und x2 ≡ −1 − y 2 (mod p) gibt. Damit
existiert ein µ ∈ N 1 mit x 2 +y 2 +1 2 +0 2 = µ p und µ p < p2
4 + p2
4
sodass außerdem µ < p gilt.
+1 =
p2
2 +1 < p2 ,
Für p = 2 ist 2 = 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 eine geeignete Summe mit µ = 1.
{
iii) Im Falle ungerader Primzahlen p setzen wir m = m(p) : = min µ ∈
∑
N 1 ; µ p = 4 }
x 2 i ist lösbar . Im Folgenden sei m p = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4. Ist m = 1,
i=1
so liegt eine gewünschte Darstellung vor. Für gerade m und für ungerade m ∈ N 3
leiten wir jeweils einen Widerspruch her.
1. Fall: Wir nehmen an, dass m gerade ist. Dann gilt 0 ≡ m p ≡ x 2 1 + . . . +
x 2 4 ( mod 2). Um zu erreichen, dass x 1 +x 2 und x 3 +x 4 beide gerade sind, werden
die x i umgeordnet, falls jeweils genau ein Element aus {x 1 , x 2 } und aus {x 3 , x 4 }
ungerade ist. Für alle anderen Viertupel sind x 1 + x 2 und x 3 + x 4 schon gerade.
Dann besitzt m 2
p die ganzzahlige Quadratsummendarstellung
( m
2 p = x 1 +x 2
2
) 2
+
(
x1 −x 2
2
- im Widerspruch zur Minimalität von m.
) 2
+
(
x3 +x 4
2
) 2
+
(
x3 −x 4
2
2. Fall: Unter der Annahme, dass m ungerade und m ≥ 3 ist, sei y i für jedes
i ∈ I 4 der absolut kleinste Rest von x i modulo m, d. h. es sei
(5.2) x i ≡ y i (mod m) und |y i | < m 2 .
) 2