Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.5 Pythagoreische Tripel 35
Gehen wir noch einen weiteren Schritt zurück und bilden wegen der gemeinsamen
Teiler von a und b sowie von c und d die Brüche a b und c , so gewinnen wir mit
d
a
b = c d = u v
die überraschende Einsicht, dass die in der sechsten Klasse eingeführten Kernbrüche
die gesuchte Lösung liefern; denn ist u v ein Kernbruch, so stellen a b und c d
Erweiterungen von u v dar, d. h. es gibt Zahlen s, t ∈ N 1, mit denen (2.15) gilt.
Dieser Zusammenhang ist die Grundlage einer Problemlösestrategie, die zwar
nicht oft, dafür aber recht wirkungsvoll eingesetzt werden kann. Wir bezeichnen
sie als Kernbruchstrategie. Die dazu gehörenden Begriffe sind in der Literatur
nicht einheitlich und oft auch ungünstig erklärt. Im nächsten Abschnitt wird
deshalb zunächst der entsprechende Teil der Zahlgenese skizziert, bevor wir mit
der Kernbruchstrategie einen kaum bekannten Zugang zu einem rund 4000 Jahre
alten Fragenkreis aufdecken.
2.5 Die Kernbruchstrategie und pythagoreische
Tripel
Auf Seite 14 wurde schon erwähnt, dass Kernbrüche als Brüche mit teilerfremdem
Zähler und Nenner Repräsentanten von unendlich vielen zueinander gleichen
Brüchen sind. Will man im Mathematikunterricht am Anfang der Mittelstufe das
als schwierig geltende “Kürzen” vermeiden, so lassen sich zwei Brüche als gleich
definieren, wenn sie eine gemeinsame Erweiterung besitzen. Diese umständlich zu
prüfende Bedingung wird in dem folgenden Satz durch ein einfaches Kriterium
ersetzt.
Gleichheitssatz
Sind a, b, c, d ∈ N 1 , so gilt a b = c d
genau dann, wenn ad = bc erfüllt ist.
Beweis (direkt, zwei Teile, r1):
i) Stellt u v die gemeinsame Erweiterung dar, so gibt es s, t ∈ N 1 mit u = sa, v =
sb, u = tc, v = td. Damit erhält man satd = uv = sbtc, und die Kürzungsregel
(der Zahlgenese) ergibt ad = bc.