Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

54 Anwendungen des Hauptsatzes 3.3
Beweis (zwei Teile, direkt, r1):
a) Ist a | b, so gibt es ein c ∈ N 1 mit b = ac und c = ∏ p∈P
p νp(c) . Mit (3.6) folgt
ν p (b) = ν p (a) + ν p (c) für alle p ∈ P. Wegen ν p (c) ≥ 0 gilt ν p (a) ≤ ν p (b).
b) Da (3.7) für alle p ∈ P mit ν p (b) − ν p (a) ∈ N äquivalent ist, gilt d : =
∏
p νp(b)−νp(a) ∈ N 1 . Damit folgt b = ad, also a | b.
p∈P
Erst jetzt kann die Methode streng begründet werden, mit der meistens im Mathematikunterricht
der fünften Klasse die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
(ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) erfolgt. Während der
größte gemeinsame Teiler auf Seite 19 erklärt wurde, findet sich die formelmäßige
Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen in dem nächsten Satz. Für
die im Folgenden häufig auftretenden Indexmengen wird zur Vereinfachung die
Abkürzung
I n : = {1, . . . , n}
eingeführt.
Satz über die ggT- und kgV-Darstellung
Für n ∈ N 2 seien a 1 , . . . , a n ∈ N 1 mit den formalen Darstellungen a i =
∏
p νp(ai) für i ∈ I n . Ist t : = ggT (a 1 , . . . , a n ) und v : = kgV (a 1 , . . . , a n ) : =
p∈P
min {e ∈ N 1 ; a i | e für jedes i ∈ I n } , so gilt
(3.8)
t = ∏ p∈P
p δp mit δ p : = min {ν ∈ N ; Es gibt ein j ∈ I n mit ν = ν p (a j )}
und
(3.9)
v = ∏ p∈P
p γp mit γ p : = max {ν ∈ N ; Es gibt ein k ∈ I n mit ν = ν p (a k )} .
Beweis (zwei Teile, direkt, r1):
a) Aus t | a i für jedes i ∈ I n folgt aufgrund des Teilbarkeitssatzes (Seite 53), dass
(3.10) ν p (t) ≤ ν p (a i ) für jedes i ∈ I n und alle p ∈ P
gilt. Die Minimalität von δ p ergibt
(3.11) δ p ≤ ν p (a i ) für jedes i ∈ I n und alle p ∈ P,
und es existiert ein j ∈ I n mit δ p = ν p (a j ) . Aus (3.10) folgt also ν p (t) ≤ δ p .