Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.2 Darstellung als Summe von Quadraten 145
∑
Daraus folgt 0 ≡ m p ≡ 4 ∑
x 2 i ≡ 4
4∑
yi
2
i=1
i=1
yi
2
i=1
(mod m). Also gibt es ein n ∈ N, sodass
= m n ist. Es kann nicht n = 0 sein, weil sonst y i = 0, also m | x i für
i = 1, . . . , 4 wäre. Wegen m 2 | x 2 i würde dann m 2 | m p, also m | p folgen - im
Widerspruch dazu, dass p ∈ P und 1 < m < p gilt.
Außerdem ergibt m n =
und m n =
4 ∑
i=1
weil wegen (5.2) s 1 ≡
∑ 4 yi
2
i=1
< 4 m2
4 = m2 , dass n < m ist. Aus m p = 4 ∑
x 2 i
i=1
∑
yi 2 folgt nach i) m 2 n p = 4 s 2 i . Hier gilt m | s i für i = 1, . . . , 4,
∑ 4 x 2 i
i=1
0 (mod m) gilt. Schließlich folgt n p = 4 ∑
i=1
≡ 0 (mod m) und x k y l − x l y k ≡ x k x l − x l x k ≡
(
si
) 2
m mit
s i
∈ Z - im Widerspruch
m
i=1
zur Minimalität von m.
{
iv) Der Satz wird nun durch vollständige Induktion mit M : = k ∈ N; Für jedes
∑
n ∈ N 1 mit Ω(n) = k gibt es x 1 , . . . , x 4 ∈ Z mit n =
4 }
bewiesen. Wegen
x 2 i
i=1
1 = 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2 ist 0 ∈ M. Aus k ∈ M folgt mit i) und iii), dass auch
k + 1 zu M gehört. Der Induktionssatz (Seite 12) ergibt damit, dass M = N,
also Q 4 = N 1 gilt.
Für die Darstellbarkeit von natürlichen Zahlen n als Summe von drei Quadraten
lieferte Descartes 1638 einen Beweis der 1636 von Fermat formulierten
notwendigen Bedingung n ≠ 4 a (8b + 7) für alle a, b ∈ N. Euler bemühte sich
zwischen 1730 und 1780 um den Nachweis, dass diese Bedingung auch hinreichend
ist. Den ersten Beweis erbrachte Legendre 1798 in einem Lehrbuch über
Zahlentheorie. Er verwendete dabei spezielle Sätze über “reziproke quadratische
Teiler” von t 2 + c u 2 . Völlig anders ist die von Gauß entwickelte Beweismethode,
die drei Jahre später in [9] erschien. Die von ihm nur zum Teil für diesen
Zweck eingeführte Äquivalenztheorie von “quadratischen Formen” wurde später
einer der Ausgangspunkte für das große Gebiet der algebraischen Zahlentheorie.
Mit Hilfe von “binären” und “ternären” quadratischen Formen bestimmte Gauß
sogar für jede natürliche Zahl die Anzahl der Darstellungen als Summe von drei
Quadraten.
Die von Gauß sehr breit entwickelte Theorie der quadratischen Formen kann
in diesem Buch nur andeutungsweise in zwei Teilen wiedergegeben werden. Für