Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.4 Gaußsche Erkundungsstrategie 31
Im Hinblick auf unser anspruchsvolleres Ziel, Problemlösefähigkeiten zu entwickeln,
soll in diesem Buch auf solche “Rechenaufgaben” verzichtet werden. Eine
endgültige Unterscheidung von Aufgaben und Problemen ist aber auf diese Weise
nicht möglich, weil unter anderem individuelle Vorkenntnisse eine Rolle beim
Problemlösen spielen. Zum Beispiel stellt die Aufforderung, die Irrationalität der
reellen Zahl s : = √ 2+ √ 3 zu beweisen, kein Problem dar, wenn der obige Beweis
von Euklid für die Irrationalität von √ 2 (Seite 30) bekannt ist, weil es wegen
s 2 − 5 = √ 6 genügt, mit derselben Methode zu zeigen, dass √ 6 irrational ist.
Aufgaben werden gestellt, um bestimmte kurz vorher entwickelte Zusammenhänge
und Methoden zu üben. Ein Problem enthält dagegen immer mindestens eine
noch nicht bekannte oder nicht direkt sichtbare Komponente. Das Ziel des Problemlösens
ist meistens die Herstellung eines Zusammenhangs mit gesicherten
Aussagen, die Angabe einer Lösungsmenge oder die Konstruktion eines Gegenbeispiels.
Das Phänomen, dass gute mathematische Schulkenntnisse und eine Vorlesung
beziehungsweise ein Lehrbuch der Zahlentheorie nicht ausreichen, um selbst relativ
einfache zahlentheoretische Probleme zu lösen, kann verglichen werden mit
der Situation eines Menschen, der reichlich Material - z. B. Holz - hat, dem aber
Werkzeuge und Fähigkeiten fehlen, um daraus etwas zielgerichtet Gewünschtes
herzustellen. Im zweiten Strang dieses Buches sollen deshalb Werkzeuge, Fähigkeiten
und Einstellungen zum Problemlösen in der Zahlentheorie entwickelt beziehungsweise
aufgedeckt werden.
Wir beginnen mit einem Beispiel, das eine geringfügige Abwandlung von Aufgabe
1 der zweiten Runde 1970/71 des BWM ist.
Problem 1
Beweisen Sie, dass für alle a, b, c, d ∈ N 1 mit ad = bc die Zahl a 2 +b 2 +c 2 +d 2
mehr als zwei Teiler hat.
Es soll dazu dienen, die allgemeinste Vorgehensweise bewusst zu machen, die
häufig anzuwenden ist, wenn sich zunächst keine Suchrichtung anbietet. Wir nennen
dieses “Arbeitsprogramm” Gaußsche Erkundungsstrategie, weil bekannt ist,
dass Gauß einen großen Teil seiner neuen Ergebnisse in der Zahlentheorie durch