Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

56 Vollkommene Zahlen und spezielle Primzahlen 3.4
der Beweis, der die Exponentenvergleichsstrategie einführt, die bei einigen zahlentheoretischen
Problemen wirksam eingesetzt werden kann.
Satz über rationale k-teWurzeln
Ist k ∈ N 2 und w ∈ Q + , so stellt k√ w genau dann eine rationale Zahl dar,
wenn es ein v ∈ Q + mit w = v k gibt.
Beweis (zwei Teile, direkt, Fallunterscheidung, r1):
a) Aus w = v k folgt definitionsgemäß k√ w = v ∈ Q + .
b) Sind a, b, c, d ∈ N 1 mit ggT(a, b) = 1, ggT(c, d) = 1, w = a b und k√ w = c d , so
ist k√ a
b = c d
äquivalent mit
(3.13) a d k = b c k .
Werden für a, b, c, d die formalen Darstellungen eingesetzt, so ergeben (3.6) und
die Eindeutigkeitsaussage des Hauptsatzes (Seite 49), dass (3.13) genau dann gilt,
wenn
(3.14) ν p (a) + k ν p (d) = ν p (b) + k ν p (c) für alle p ∈ P
erfüllt ist. Aus der Teilerfremdheit von a und b folgt, dass für jedes p ∈ P höchstens
eine der beiden Zahlen ν p (a) und ν p (b) nicht verschwindet. Im Falle ν p (a) > 0
beziehungsweise ν p (b) > 0 ergibt dann (3.14), dass 1 k ν p(a) = ν p (c) − ν p (d) beziehungsweise
1 k ν p(b) = ν p (d) − ν p (c) in N 1 liegt. Mit den formalen Darstellungen
e : = ∏ p 1 k νp(a) und f : = ∏ p 1 k νp(b) ist also v : = e f
p∈P
p∈P
eine positive rationale Zahl,
für die v k = w gilt.
3.4 Vollkommene Zahlen und spezielle Primzahlen
Bezeichnung der Teilersummenfunktion
Die Abbildung σ : N 1 → N 1 , n ↦→ σ(n) mit σ(n) : = ∑ d|n
d für alle n ∈ N 1 heißt
Teilersummenfunktion.