Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.2 Größter gemeinsamer Teiler 21
Beweis (Fallunterscheidung und “finite Induktion”, a1):
Wir beweisen zunächst (2.4) für c = 1 und führen die allgemeine Aussage darauf
zurück (“Zurückführungsstrategie”).
i) Der Fall n = 1 mit dem Euklidischen Tupel (r 1 ) tritt auf, wenn r 1 | r 0 ist. Dann
gilt ggT (r 0 , r 1 ) = r 1 .
ii) Im Falle n ∈ N 2 wollen wir zeigen, dass ggT (r 0 , r 1 ) = ggT (r k+1 , r k+2 ) für
k = 0, . . . , n − 2 erfüllt ist, indem wir für den Übergang von k = m zu k = m + 1
für m ≤ n − 3 den Satz über die ggT-Rekursion (Seite 19) in der Form
(2.5) ggT (r m+1 , r m+2 ) = ggT (r m+2 , r m+3 )
verwenden. Obwohl bei festem n nur endlich viele Gleichungen zu beweisen sind,
haben wir als Nachweismethode nur die vollständige Induktion zur Verfügung.
Deshalb werden in der “Induktionsmenge” M n die zu beweisenden Gleichungen
durch die von selbst erfüllten Ungleichungen k ≥ n − 1 ergänzt:
M n : =
{k ∈ N ; (k ≤ n − 2 und ggT(r 0 , r 1 ) = ggT(r k+1 , r k+2 )) oder (k ≥ n − 1)} .
Wegen n ≥ 2 und aufgrund des Satzes über die ggT-Rekursion gilt 0 ∈ M n . Ist
m ∈ M n und m ≤ n − 3, so folgt mit Hilfe von (2.5), dass m + 1 ∈ M n gilt. Für
m ≥ n−2 ist m+1 ≥ n−1, sodass auch hier m+1 ∈ M n gilt. Der Induktionssatz
(Seite 12) ergibt also M n = N.
Damit gilt ggT (r 0 , r 1 ) = ggT (r n−1 , r n ) , und wegen r n | r n−1 ist ggT (r n−1 , r n ) =
r n .
Diese etwas umständliche Durchführung der “finiten Induktion” kürzt man üblicherweise
wie folgt ab:
ggT (r 0 , r 1 ) = ggT (r 1 , r 2 ) = . . . = ggT (r n−1 , r n ) = r n .
Die Aussage für c > 1 ergibt sich, indem man alle Gleichungen für die Division
mit Rest, die bei der Bestimmung des Euklidischen Tupels (r 1 , . . . , r n ) von (r 0 , r 1 )
auftreten, mit c multipliziert und die Eindeutigkeit des jeweiligen Restes in (2.1)
beachtet. Als Euklidisches Tupel zu (c r 0 , c r 1 ) erhält man also (c r 1 , . . . , c r n ) .
Mit Hilfe des oben bewiesenen Spezialfalls folgt schließlich
ggT (c r 0 , c r 1 ) = c r n = c ggT (r 0 , r 1 ) .