Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

76 Aufgaben und Probleme 3.7
3.7 Aufgaben und Probleme zu Kapitel 3
Aufgabe 3.1:
Zeigen Sie, dass S n : = n ∑
k=1
1
k für alle n ∈ N 2 keine ganze Zahl darstellt.
[Hinweis: Betrachten Sie die Summe S n zunächst für einige kleine Werte von n ,
bringen Sie die Summanden auf den Hauptnenner N n , ohne die Summe bzw. das
Produkt auszurechnen, und stellen Sie dann eine Vermutung über Teilereigenschaften
auf. Beachten Sie beim Beweis die Primfaktorzerlegung des kgV.]
Achtung: Fundgrube! [Mit einem Computeralgebrasystem (CAS): Primteiler des
Zählers Z n von S n .]
Aufgabe 3.2:
Zeigen Sie, dass die Menge {p ∈ P ; Es gibt k ∈ N mit p = 4k + 3} unendlich
ist.
[Hinweis: Betrachten Sie zu den ersten n Primzahlen q 1 , . . . , q n aus der Menge
den Ausdruck 4 q 1 · · · q n − 1 .]
Aufgabe 3.3:
Bestimmen Sie alle n ∈ N 1 mit ∏ d|n
d = n 2 .
[Hinweis: Suchen Sie zunächst eine allgemeingültige Formel für ∏ d|n
d .]
Aufgabe 3.4:
Beweisen Sie die folgenden beiden Aussagen:
a) Sind p und q aufeinanderfolgende ungerade Primzahlen, so ist Ω(p + q) ≥ 3 .
b) Es sei k ∈ N 2 . Ist n eine natürliche Zahl, die p ∤ n für alle p ∈ P mit p k ≤ n
erfüllt, so gilt Ω(n) ≤ k − 1 .
Aufgabe 3.5:
∑
Es sei f(x) : = n a k x k ein Polynom mit n ∈ N 1 , a n ∈ N 1 und a k ∈ Z für k =
k=0
0, . . . , n−1. Beweisen Sie, dass die Menge {p ∈ P ; Es gibt m ∈ N 1 mit p|f(m)}
unendlich ist.