Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

3.2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 51
das q 1 = q i ′ gilt, weil für Primzahlen a, b 0 , . . . , b n die Bedingungen ggT(a, b i ) = 1
mit a ∤ b i äquivalent sind und die Aussage a | b 0 mit a = b 0 gleichwertig ist.
Entsprechend gibt es ein j ∈ {1, . . . , m + 1} mit q 1 ′ = q j . Wegen q 1 = q i ′ ≥ q 1 ′ und
q 1 ′ = q j ≥ q 1 folgt q 1 = q 1. ′ Damit ist n = q
q 2 · · · q m+1 nach Induktionsvorausset-
1
zung die einzige Primärzerlegung von n q 1
. Da auch n q 1
= q ′ 2 · · · q ′ s mit q ′ 2 ≤ . . . q ′ s
gilt, muss m + 1 = s und q i = q ′ i für i = 2, · · · , m + 1 sein. Also ist m + 1 ∈ M,
und der Induktionssatz (Seite 12) ergibt M = N 1 .
Zweiter Beweis (erweiterte Induktion, Fallunterscheidung, Widerspruchsschluss,
a3):
Die Induktionsmenge sei
M : = {k ∈ N 2 ; Jedes j ∈ N 2 mit j ≤ k besitzt genau eine Primärzerlegung }.
Als kleinste Primzahl liegt 2 in M. Für den Induktionsschritt sei m ∈ M und
q : = kP (m + 1).
a) Im Falle m + 1 = q hat m + 1 als Primzahl nur diese Primärzerlegung. Mit
m ∈ M gehört also auch m + 1 zu M.
b) Für m + 1 ≠ q wird zunächst mit Hilfe eines indirekten Schlusses von E. Zermelo
(1934) ohne Verwendung des Produktteilersatzes gezeigt, dass q als
Faktor in jeder Primärzerlegung von m + 1 vorkommt. Anschließend lässt sich
auf m+1
q
die Induktionsaussage anwenden.
Ist q ′ 1 · · · q ′ s mit s ≥ 2 irgendeine Primärzerlegung von m + 1 ∈ N 2 \ P, so gilt
q ≤ q ′ 1 aufgrund der Definition von q. Unter der Annahme, dass q < q ′ 1 ist,
setzen wir
a : = q ′ 2 · · · q ′ s und b : = (q ′ 1 − q) a.
Wegen a ≥ q 2 ′ ≥ 2 und a = m+1 ≤ m+1 < m besitzt a nach Induktionsvoraussetzung
die eindeutige Primärzerlegung q 2 ′ · · · q s, ′ und aus q < q 2 ′ ≤ . . . ≤ q s ′
q 1
′ 2
folgt
q ≠ q ′ i für i = 2, . . . , s.
Auch b hat eine eindeutige Primärzerlegung, weil einerseits mit q ′ 1 − q ≥ 1 und
a ≥ 2 die untere Schranke b ≥ 2 und andererseits wegen b = q ′ 1a−qa = m+1−qa
die obere Abschätzung b ≤ m für die Induktionsvoraussetzung vorliegt. Außerdem
ergibt der Satz über Teilbarkeitsregeln (Seite 18), dass mit q | (m + 1) und
q | (qa) auch q | b gilt. Wegen b ≥ a ≥ q 2 ′ > q besitzt b nach Induktionsvoraus-
q