Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

126 Ordnungen, Primitivwurzeln und Indizes 4.8
ken wir uns auf die g-adische Entwicklung von Brüchen a b mit a ∈ N 1,
b ∈ N 2 , a < b, ggT (a, b) = 1, g ∈ N 2 und ggT (b, g) = 1. In [20] werden
g-adische Bruchentwicklungen ausführlich behandelt.
Die schon zum Lehrplan der Sekundarstufe I gehörende Methode der Umwandlung
eines Bruches a in einen Dezimalbruch führt zum g-adischen
b
Divisionsalgorithmus, bei dem man zunächst a durch b mit Rest dividiert
und anschließend wiederholt den jeweils mit g multiplizierten Rest
durch b mit Rest teilt. Die bei den Divisionen entstehenden g-adischen Ziffern
bezeichnen wir für n ∈ N 1 mit z n und die Reste mit r n . Wegen der
obigen Voraussetzung a < b ist die ganze Zahl “vor dem Komma” gleich
0, und für den zugehörigen “nullten” Rest gilt r 0 = a.
Mit der Eindeutigkeitsaussage des Satzes über Division mit Rest (Seite
19) und mit den anschließenden Bezeichnungen erhalten wir die Rekursionsgleichungen
[ g rn
]
(4.20) r 0 = a, r n+1 = mod (g r n , b) und z n+1 = für n ∈ N.
b
Da bei festem g und b jeder Rest nur von dem vorhergehenden abhängt und
da alle Reste in A b liegen, ergibt der Schubfachsatz (Seite 85), dass zwei
Zahlen j, k mit 0 ≤ j < k ≤ b und r j = r k existieren. Mit vollständiger
Induktion folgt, dass r j+n = r k+n für alle n ∈ N gilt. Damit sind (r n ) n∈N
und (z n+1 ) n∈N
periodische Folgen.
Unter der Voraussetzung ggT (b, g) = 1 zeigen wir, dass j = 0 gilt, womit
(r n ) n∈N
und (z n+1 ) n∈N
reinperiodische Folgen darstellen. Dazu verwenden
wir die aus (4.20) folgenden Gleichungen g r j−1 = z j b + r j und
g r k−1 = z k b + r k . Mit r j = r k erhalten wir g (r j−1 − r k−1 ) = b (z j − z k ) ,
sodass b | g (r j−1 − r k−1 ) gilt. Aufgrund der Voraussetzung ggT (b, g) = 1
ergibt der Produktteilersatz (Seite 23), dass b Teiler von r j−1 − r k−1 ist.
Wegen |r j−1 − r k−1 | < b muss also r j−1 = r k−1 sein. Mit finiter Induktion
folgt r 0 = r k−j , sodass die Periodizitätsaussage mit j = 0 und mit k − j
anstelle von k erfüllt ist.
Die Zahl
γ : = min {k ∈ N 1 ; z k+m = z k für alle m ∈ N 1 }
wird als Grundperiodenlänge der g-adischen Bruchentwicklung von a b
bezeichnet. Die obigen Schlüsse für den Periodizitätsnachweis von (r n ) n∈N
und (4.20) zeigen, dass γ = min {k ∈ N 1 ; r k = r 0 } gilt. Mit vollständiger
Induktion leiten wir nun eine Darstellung für r k her, die es erlaubt,
die Bedingung r k = r 0 nur mit Hilfe von b, g und k auszudrücken. Ist
{
M: = k ∈ N ; r k = a g k ∑
− b k }
z i g k−i die Induktionsmenge, so gilt 0 ∈
i=1
M wegen r 0 = a, und für jedes m ∈ M ergibt sich m + 1 ∈ M mit Hilfe