Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

142 Darstellung als Summe von Quadraten 5.2
der Methode des unendlichen Abstiegs von Fermat an, mit der hier bewiesen
würde, dass zu jedem µ ∈ V p mit µ > 1 ein µ ′ ∈ V p mit µ ′ < µ existiert.
Es sei also m > 1. Wegen der Minimalität von m folgt aus µ < p auch m < p.
Sind x 1 , x 2 ganze Zahlen mit m p = x 2 1 + x 2 2 , so gilt m ∤ x 1 oder m ∤ x 2 , denn
andernfalls wäre m 2 | (x 2 1 + x 2 2) , also m | p im Widerspruch zu 1 < m < p und
p ∈ P. Wählen wir y i für i ∈ I 2 als absolut kleinsten Rest von x i modulo m, so
erhalten wir ( einerseits y1 2 +y2 2 > 0, und andererseits folgt aus − m 2 < y i ≤
) m 2 , dass
y1 2 + y2 2 m 2
≤ 2
2 =
1
2 m2 < m 2 gilt, was wir in
(5.1) 0 < y1 2 + y2 2 < m 2
zusammenfassen. Wegen y1 2 + y2 2 ≡ x 2 1 + x 2 2 ≡ 0 (mod m) ist n : =
m( 1 y
2
1 + y2
2
eine ganze Zahl, und (5.1) ergibt 0 < n < m.
Mit Hilfe der Identität aus i) folgt nun
m 2 n p = ( x 2 1 + x 2 2) (
y
2
1 + y 2 2)
= s
2
1 + s 2 2 mit
s 1 : = x 1 y 1 + x 2 y 2 ≡ x 2 1 + x 2 2 ≡ 0 (mod m) und
s 2 : = x 1 y 2 − x 2 y 1 ≡ x 1 x 2 − x 2 x 1 ≡ 0 (mod m).
Division durch m 2 liefert
( s1
) 2 ( s2
) 2 s i
n p = + mit 0 < n < m und
m m
m ∈ Z für i ∈ I 2.
Damit erhalten wir einen Widerspruch zur Minimalität von m. Also muss m = 1
gelten.
iv) Für den Darstellungsnachweis seien H 0 : = {n ∈ N 1 ; ν p (n) = 0 für alle
p ∈ P mit p ≡ 3 (mod 4)} und H : = {n ∈ N 1 ; 2 | ν p (n) für alle p ∈ P mit p ≡ 3
(mod 4)} . Wir zeigen zunächst mit vollständiger Induktion, dass H 0 ⊂ Q 2 gilt.
Anschließend ergibt sich durch einfache Erweiterung, dass auch H \ H 0 in Q 2
liegt. Wegen 1 = 1 2 + 0 2 ist 0 ∈ M : = { k ∈ N ; Für jedes n ∈ H 0 mit Ω(n) =
k gibt es x 1 , x 2 ∈ Z mit n = x 2 1 + x 2 2}
. Ist k ∈ M, so folgt mit i) und ii), dass
auch k+1 zu M gehört. Aufgrund des Induktionssatzes (Seite 12) ist also M = N
und damit H 0 ⊂ Q 2 .
Ist n ∈ H \ H 0 , so werde n 0 : = max {d ∈ H 0 ; d | n} gesetzt. Wegen 2 | ν p (n) für
alle Primteiler p von n mit p ≡ 3 (mod 4) gibt es ein f ∈ N 2 , so dass n n 0
= f 2
gilt. Aus n 0 = x 2 1 + x 2 2 folgt dann n = f 2 n 0 = (fx 1 ) 2 + (fx 2 ) 2 . Also ist auch
n ∈ Q 2 , und zusammengenommem gilt H ⊆ Q 2 .
)