Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 231
im regelmäßigen Fünfeck, indem sie aus der gegenteiligen Annahme die Existenz
von zwei Folgen immer kürzer werdender Strecken erschlossen, deren Längen
ganzzahlige Vielfache einer festen Streckenlänge sind, was im Widerspruch zur
Beschränktheit der Vielfachenmengen steht.
Später wurde klar, dass diese Inkommensurabilitätsnachweise zugleich Irrationalitätsbeweise
für einige der Streckenlängen darstellen. Heute wird die Methode vor
allem in der Zahlentheorie verwendet, um zu zeigen, dass eine Aussage - meistens
eine Polynomgleichung - keine Lösung besitzt, der sich in gesetzmäßiger Weise
eine positive ganze Zahl m zuordnen lässt. Aus der Annahme, dass es eine solche
Lösung gibt, wird die Existenz einer streng monoton fallenden Folge natürlicher
Zahlen erschlossen - im Widerspruch zur Endlichkeit von A m .
Mit der Extremfallstrategie würde m als minimales Element der Menge aller
natürlichen Zahlen definiert, die den Lösungen zuzuordnen sind. Wendet man
den Induktionsschluss, der bei der Abstiegsstrategie die Existenz der monoton
fallenden Folge liefert, auf das minimale Element m an, so ergibt sich sofort ein
Widerspruch.
Da die Extremfallstrategie also logisch einfacher ist als die Abstiegsstrategie, wird
sie heute meistens anstelle der Letzteren verwendet. So haben wir auch bei dem
Beweis des Zweiquadratesatzes (Seite 141) diese Variante vorgezogen. In unserer
Sammlung ist die Abstiegsstrategie nur bei Problem 44 einzusetzen. Wohl aus
historischen Gründen findet sie sich in Lehrbüchern der Zahlentheorie unter der
Bezeichnung descente infinie (“unendlicher Abstieg”). P. de Fermat, der sich
als Entdecker dieser Methode ansah, gab ihr den Namen und konstatierte, dass
er damit alle seine zahlentheoretischen Ergebnisse gefunden habe.
Mit dem folgenden letzten Problem erweitern wir zum dritten Mal die Aussage
von Problem 63 (Seite 195). Die Abstiegsstrategie ergibt hier allerdings keinen
“unendlichen Abstieg”, weil der “Abstiegsschritt” für einen genügend kleinen
Wert der zugeordneten Folge nicht mehr gültig ist. Dafür tritt schon vor dem
Erreichen dieses Wertes ein Widerspruch ein.
Problem 81
Beweisen Sie, dass es zu jedem n ∈ N 3 genau ein Paar (x, y) ∈ N 2 1 mit
2 n = 7x 2 + y 2 und 2 ∤ xy gibt.