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4.4. FREQUENZVERDOPPLUNG 109<br />
4.4 FREQUENZVERDOPPLUNG<br />
Beim Durchgang durch einen (transparenten) Festkörper folgen die Elektronen dem elektrischen<br />
Feld E einer Lichtwelle und dies verursacht eine Verformung der Elektronenhüllen. Dies<br />
kann man ausdrücken als induzierte Dipolmomente oder Polarisation2 PD. � Sie hat neben den<br />
linearen auch nichtlineare Anteile, also Anteile die höheren Potenzen von E proportional sind.<br />
| � � �<br />
(1) (2) 2<br />
PD| = ɛ0 χ E + χ E + ... (4.31)<br />
χ (i) sind die Koeffizienten der Suszeptibilität, die mit höherer Ordnung schnell abnehmen. Für<br />
Festkörper ist typisch χ (1) ≈ 1, χ (2) ≈ 10 −12 mV −1 , χ (3) ≈ 10 −21 m 2 V −2 . Nichtlineare optische<br />
Suszeptibilitäten treten nur in Kristallen, Flüssigkristallen und anderen anisotropen Medien<br />
auf.<br />
Werden in einen Kristall zwei ebene Wellen der Form<br />
E (1) = E1 cos(ω1t + k1z) und E (2) = E2 cos(ω2t + k2z) (4.32)<br />
eingestrahlt, so folgt aus Gl. (4.31) an einem festen Ort (z.B. z=0)<br />
| � P (2)<br />
D (ω)| = ɛ0<br />
� 2<br />
E1 cos 2 (ω1t) + E 2 2 cos 2 (ω2t) + 2E1E2 cos(ω1t) cos(ω2t) �<br />
=<br />
(4.33)<br />
1 (2) ɛ0χ 2<br />
⎡<br />
(1)<br />
�<br />
⎢�<br />
�� �<br />
2<br />
⎣ E1 + E 2 (2)<br />
� � �� �<br />
2 + E 2 1 cos(2ω1t) + E 2 2 cos(2ω2t) (4.34)<br />
⎥<br />
+ 2E1E2 cos(ω1 + ω2)t + 2E1E2 cos(ω1 − ω2)t⎦<br />
� �� � � �� �<br />
(4.35)<br />
(3)<br />
(4)<br />
Es entstehen also (1) ein konstanter Term, (2) Anteile mit 2ω1 und mit 2ω2, die dem jeweiligen<br />
Quadrat der eingestrahlten Intensität (P ) proportional sind (P (2ωi) ∝ P 2 (ωi)) sowie (3)<br />
Summen- und (4) Differenzanteile, die proportional dem Produkt der eingestrahlten Lichtintensitäten<br />
sind (P (ω1 ± ω2) ∝ P (ω1)P (ω2)). Allgemeiner ausgedrückt bilden die Suszeptibilätskoeffizienten<br />
χ (n) Tensoren n + 1-ter Stufe:<br />
P i �<br />
3�<br />
D = ɛ0 χ (1)<br />
ik Ek + � �<br />
χ (2)<br />
ijkEjEk �<br />
+ ...<br />
(4.36)<br />
k=1<br />
Der quadratische Term wird bestimmt durch den Tensor dritter Stufe χ (2)<br />
ijk mit der Symmetrie<br />
χ (2)<br />
ijk<br />
= χ(2)<br />
ikj<br />
j<br />
k<br />
. Dies heißt insbesondere, daß eine Welle mit linearer Polarisation nichtlineare<br />
2 Hier ist die Dichte der elektrischen Dipolmomente gemeint. Diese ist nicht zu verwechseln mit der Polarisation<br />
als Schwingungsebene (z.B. einer Lichtwelle).<br />
⎤
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