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2.1. ALLGEMEINE DEFINITIONEN UND BEGRIFFE 19
Jedes Photon hat die Energie �ω und trägt nach Boltzmann mit
En = �ω 4π�3 ω 2 dω
a 3 c 3
1
exp[−�ω/kBT ]
(2.17)
bei. Summation aller Moden unter Berücksichtigung, daß jedes Photon zwei Einstellmöglichkeiten
seines Spins besitzt, liefert:
E = 2 ·
∞�
n=1
En = 4π�4 ω 3 dω
a 3 c 3
1
exp[�ω/kBT ] − 1
Die räumliche Energiedichte im Volumen Ω = L 3 ist gegeben durch
dE = E
Ω
8π
=
L3a3 �4ω3 dω
c3 =
8π
(2π) 3 � 3
1
exp[�ω/kBT ] − 1
�4ω3 dω
c3 1
exp[�ω/kBT ] − 1
. (2.18)
(2.19)
, (2.20)
unter Verwendung von Gl. (2.14) im letzten Schritt. Substitution von ω durch die Frequenz
ν = ω/2π ergibt den erwarteten Ausdruck
dE ( = ρ(T, ν) dν ) = 8πhν3 dν
c 3
1
exp[hν/kBT ] − 1
. (2.21)
Mit Gl. (2.13) folgt der fehlende Vorfaktor in Einsteins Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes:
An m
= 8πhν3
c3 dν . (2.22)
B m n
An m
Bm n
= 8πhν3
c 3 dν . (2.23)
Setzt man dies in Gl. (2.13) ein, so ergibt sich das Plancksche Strahlungsgesetz
ρ(ν, T ) dν =
8πν2 c3 � �� �
·
� �
hν
� �� �
·
1
e
Zustandsdichte Energiequant
hν/kBT
� ��
− 1
�
dν (2.24)
Anzahl Quanten pro Zustand
Die Aufteilung der Planckschen Formel in drei Faktoren wie oben läßt deutlich ihre Struktur
erkennen: Der erste Faktor ist die Zustandsdichte, der zweite das Energiequant eines jeden
Zustands, der dritte die Anzahl der Quanten mit denen jeder Zustand im Mittel besetzt ist.