Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 4
Sélection de mélange de GLMs
Ce chapitre correspond aux derniers développements et aspire à une future
publication dans une revue de statistiques appliquées.
Nous avons vu dans le chapitre précédent un moyen de modéliser précisément les comportements
de rachat. Il découle de cette modélisation des questions légitimes quant à l’interprétation
des résultats finaux. En effet, une problématique classique en modélisation comportementale
est de pouvoir remonter au groupe d’appartenance de chaque individu à partir de
la partition finale établie. Ce n’est pas tant l’affectation d’une observation à un groupe qui
pose problème, mais plutôt l’interprétation qui s’ensuit : en quoi tel groupe diffère-t-il de son
voisin, qu’est-ce qui le caractérise ? L’affectation de l’individu j à un groupe est réalisée par
la règle de Bayes ou du maximum-a-posteriori (MAP), donnée en reprenant les notations des
chapitres 1 et 3 par :
ẑj
MAP ( ˆψ MLE ) = arg max τ i (y j ; ˆψ MLE ).
i=1,...,G
Ainsi, l’individu j est logiquement affecté au groupe dont il maximise la probabilité a posteriori
d’appartenance, calculée à partir de l’estimateur du maximum de vraisemblance. Dans
notre cas, les groupes (classes) formés sont représentés par les composantes des mélanges de
régressions logistiques. Autrement dit, nous effectuons une classification non supervisée de
nos assurés à partir de notre modèle : derrière cette technique couramment appelée “modelbased
clustering” se cache l’idée que chaque assuré est issu d’une classe, et que l’estimation
du mélange permet de remonter à ces différentes classes que nous n’observons pas. Lorsque
nous regardons les valeurs numériques associées à l’estimation de chaque composante de ces
mélanges, il arrive fréquemment que :
i) certaines composantes se ressemblent fortement,
ii) la variance des coefficients estimés soit grande.
La ressemblance implique que les assurés ayant été classés dans des composantes presque similaires
aient des réactions quasi-identiques. Nous pouvons dès lors nous poser la question de la
pertinence de la modélisation trouvée : est-ce bien la “meilleure” représentation de la réalité ?
Avoir moins de groupes nous permettrait-il d’améliorer la robustesse de nos estimations ?
Nous verrons par la suite que “meilleure” doit s’interpréter selon un certain critère de choix,
lequel doit permettre de répondre au mieux à la problématique originelle. En l’occurrence nos
problématiques sont d’être capable de bien approcher la loi des données observées (afin d’effectuer
des prévisions robustes) et de correctement segmenter notre portefeuille d’assurance. Nous
supposons dans toute la suite que les données correspondent à l’échantillonnage indépendant
103