Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

2.2. Impact de crises de corrélation des comportements
Proposition 5. Dans le modèle où p et p 0 augmentent simultanément ∆r, ∆r induit un
ordre convexe croissant du nombre de rachats : soit M (resp. M ′ ) le nombre de rachats quand
∆r = x (resp. ∆r = x ′ ). Si x < x ′ alors nous avons
M ≤ icx M ′ .
Démonstration. Nous utilisons les mêmes arguments que dans les preuves des propositions 3
et 4. En combinant ces arguments, le résultat est immédiat car quand ∆r croît, p et p 0
augmentent.
Ces propositions permettent l’interprétation de deux résultats pratiques pour gérer le risque :
– la proposition 3 implique que l’espérance, la VaR à n’importe quel seuil α ∈ (0, 1) et les
primes stop-loss E [(M − m) + ] pour 0 ≤ m ≤ n sont croissantes en p et en ∆r.
– la proposition 4 dit que la variance et les primes stop-loss E [(M − m) + ] pour 0 ≤ m ≤ n
sont croissantes en p 0 (à p fixé). Elle montre aussi que si p 0 < p ′ 0 , il existe un niveau
α 0 ∈ (0, 1) tel que pour α > α 0 ,
( ) ( )
V aR α M(p,p0 ) < V aRα M (p,p ′
0 )
car le critère de Karlin-Novikov énonce dans ce cas que les fonctions de répartition de
M (p,p0 ) et M (p,p ′
0 ) ne peuvent se croiser qu’une fois.
Il n’est évidemment pas surprenant d’apprendre qu’augmenter le paramètre de corrélation
et/ou la probabilité marginale de rachat provoque une plus grande mesure de risque en général,
mais le but ici est aussi de déterminer l’importance de l’impact de cette corrélation sur le
besoin en capital économique et sur la valeur du compte (notion introduite par la suite) dans
un contexte réel.
2.2.5 Ecarts de V aR et taille du portefeuille
Dans une perspective Solvabilité II, nous nous focalisons sur une analyse détaillée des
écarts de V aR à 99.5 %. La figure 2.8 récapitule l’effet de l’accroissement de la corrélation
entre décisions des assurés sur la V aR. Pour une probabilité individuelle de rachat donnée,
disons d’1%, une corrélation passant de 0 à 1% augmente la V aR 99.5% de 30 à 50%. Nous
pouvons notamment remarquer que les grands écarts positifs de V aR sont concentrés sur de
petites valeurs de corrélation lorsque nous considérons une faible propension au rachat. Ce
résultat remarquable nous suggère de définir des classes de risque en termes de sensibilité (par
rapport à la corrélation) :
– hyper sensible (zone rouge dans la figure 2.8) : p ∈]0, 0.05] et p 0 ∈]0, 0.1] ;
– sensible (zone orange) : p ∈]0, 0.05] et p 0 ∈ [0.1, 0.4], ou p ∈]0.05, 0.2] et p 0 ∈]0, 0.3] ;
– peu sensible (zone jaune) : autres situations.
Dans la configuration hyper sensible, la V aR 99.5% peut augmenter jusqu’à 70% ! Dans la configuration
sensible, l’assureur peut voir sa V aR 99.5% augmenter de 5 à 25 %, ce qui est moins
risqué mais reste très préoccupant. Enfin, la configuration peu sensible est une zone dans
laquelle l’assureur peut être serein car il semble avoir déjà assez provisionné (la V aR est assez
grande). Ces observations montrent que que la situation la plus dangereuse en termes
d’écart de provisionnement pour l’assureur correspond à l’apparition de la corrélation dans
des scénarios où la probabilité moyenne de rachat est très faible.
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