Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.3. Extension aux mélanges de GLMs
tion y j s’exprime comme suit : ∀ψ G ∈ Ψ G ,
f(y j ; ψ G ) = L(ψ G ; y j ) =
=
=
G∑
π i f Γ (y j ; µ i , ν i )
i=1
G∑
i=1
G∑
i=1
π i
1
Γ(ν i )
( ) νi
(
νi
y ν i−1
j
exp − ν )
i
y j
µ i µ i
π i
1
Γ(ν i ) (ν iX j β i ) ν i
y ν i−1
j
exp (−ν i X j β i y j ) ,
où β i = (β i0 , β i1 , ..., β ip ) T et X j = (1, X j1 , X j2 , ..., X jp ).
Cette densité de mélange nous permet d’exprimer la vraisemblance classifiante conditionnelle
qui en découle (toujours pour une observation y j ) :
(
)
G∑ π i f Γ (y j ; µ i )
ln L cc (ψ G ; y j ) = ln L(ψ G ; y j ) + ∑ G
i=1 k=1 π k f Γ (y j ; µ k ) ln π i f Γ (y j ; µ i )
∑ G
k=1 π k f Γ (y j ; µ k )
( G
)
(
)
∑
G∑ π i f Γ (y j ; µ i )
= ln π i f Γ (y j ; µ i ) + ∑ G
k=1 π k f Γ (y j ; µ k ) ln π i f Γ (y j ; µ i )
∑ G
k=1 π .
k f Γ (y j ; µ k )
D’où en développant,
ln L cc (ψ G ; y j ) = ln
G∑
i=1
π i
i=1
( G
∑
i=1
Γ(ν i ) (ν iX j β i ) ν i
G∑ π k
Γ(ν k ) (ν kX j β k ) ν k
k=1
π i
Γ(ν i ) (ν iX j β i ) ν i
y ν i−1
j
e −ν iX j β i y j
y ν k−1
j
i=1
ln ⎜
e −ν ⎝
kX j β k y j
y ν i−1
j
e −ν iX j β i y j
)
+
⎛
π i
Γ(ν i ) (ν iX j β i ) ν i
G∑ π k
Γ(ν k ) (ν kX j β k ) ν k
k=1
y ν i−1
j
e −ν iX j β i y j
y ν k−1
j
⎞
⎟
e −ν ⎠ .
kX j β k y j
Nous devons imposer certaines contraintes pour conserver les propriétés de bornitude de
la vraisemblance classifiante conditionnelle : notamment, il ne faut pas que (cf annexe D.4.2)
– ν i → 0 ou ν i → +∞ ;
– β i → −∞ ou β i → +∞.
En effet, quand les paramètres β i et ν i vers les frontières de leur domaine de définition,
l’étude des limites de la vraisemblance L cc montre que cette dernière explose. Traduisons
maintenant les contraintes équivalentes sur l’espace des paramètres de la famille exponentielle
(cf tableau 4.2) : il faut éviter que φ i → +∞ ou que φ i → 0, et s’assurer que θ i soit borné.
Mélange d’Inverses Gaussiennes
L’Inverse Gaussienne fait partie de la famille exponentielle, et constitue à ce titre un choix
possible de modélisation de l’erreur dans un modèle linéaire généralisé. Elle est utilisée dans
la modélisation de la sévérité des sinistres en Assurance, et a comme support l’ensemble des
réels positifs. Ses deux paramètres µ et σ 2 appartiennent à l’ensemble des réels strictement
positifs. Ainsi, une variable aléatoire Y de loi Inverse Gaussienne IN (µ, σ 2 ), dont la densité
vaut
f(y; µ, σ 2 ) =
(
1
√
2πσ 2 y exp − 1 3 2
(y − µ) 2 )
µ 2 σ 2 ,
y
155