Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.2. Sélection de modèle mélange
Corollaire 2. Soit {M g } 1≤g≤m une collection de modèles de paramètres {ψ g } 1≤g≤m ∈ {Ψ g } 1≤g≤m
et de dimension {K g } 1≤g≤m , avec Ψ g ⊂ R Kg . Ces modèles sont classés dans un ordre croissant
de complexité, avec K 1 ≤ K 2 ≤ ... ≤ K m . Supposons que :
Alors
(1) Pour g quelconque, il existe Ψ O g un ouvert de R Kg tel que Ψ g ⊂ Ψ O g .
ψ ∈ Ψ O ↦→ ln L cc (ψ; y) est f 0 dλ- presque partout C 1 sur Ψ O , avec Ψ O = Ψ O 1 ∪ ... ∪ Ψ O m;
⎧
⎪⎨ L(y) = sup | ln L cc (ψ; y) | < ∞ f 0 dλ-p.s.,
ψ∈Ψ
(2) Supposons que
O ⎪⎩ ‖L‖ ∞ = ess sup L(Y ) < ∞.
Y ∼f
⎧
0 ∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ( )
⎪⎨
∂ ln
L ′ Lcc
(y) = sup
< ∞ f 0 dλ-p.s.,
(3) Supposons que
ψ∈Ψ O ∂ψ
(ψ;y)
∣∣ ∞
⎪⎩ ‖L ′ ‖ 2 = E f 0[L ′ (Y ) 2 ] 1 2 < ∞.
∀g ∈ 1; m, soit Ψ b g = arg max E f 0[ln L cc (ψ g )].
ψ g∈Ψ g
(
)
Soit ψg b ∈ Ψ b g, et g b = min arg max E f 0[ln L cc(Ψ b g)] .
1≤g≤m
(4) Supposons que ∀g ∈ 1; m, ∀ψ g ∈ Ψ g ,
E f 0[ln L cc (ψ g ; Y )] = E f 0[ln L cc (ψ b g
)] ⇐⇒ ln L b cc (ψ g ; y) = ln L cc (ψ b g
; y) f 0 dλ- p.s.
{
}
b
Soit K = g ∈ 1, m : E f 0[ln L cc (Ψ b g)] = E f 0[ln L cc (Ψ b g
)] . b
⎧
( )
⎪⎨
(5) ∀g ∈ K, soit ˆψ g = ˆψ
L n ( ˆψ 1
g ) ≥ L n (ψg) b − O P ,
g (Y 1 , ..., Y n ) ∈ Ψ g tel que
n
⎪⎩ P
ˆψ g −→
n→∞ ψb g.
(6) Supposons de plus I ψ b g
= ∂2 (
)
∂ψg
2 E f 0[ln L cc (ψ g ; Y )] inversible pour g ∈ K.
|ψg
b
∀g ∈ K, n
(
L n ( ˆψ g ) − L n ( ˆψ
)
g b) = O P (1).
Démonstration. On applique le corollaire 1. Soit g ∈ K : E f 0[ln L cc (ψ b g; Y )] = E f 0[ln L cc (ψ b g b ; Y )].
Ψ g est supposé être convexe : s’il ne l’est pas, nous savons néanmoins qu’asymptotiquement
ˆψ g appartient à la boule (convexe) B(ψ b g b , ɛ) avec une grande probabilité. En prenant ɛ assez
petit pour garantir que B(ψ b g b , ɛ) ⊂ Ψ O g , Ψ g peut ainsi être remplacé par B(ψ b g b , ɛ). D’après le
lemme 8 et les hypothèses qui sont posées : ∃n 0 ∈ N ∗ , ∀n ≥ n 0 , ∀β > 0, on a
P(A ≤ B) > 1 − e −η , (4.21)
⎧
⎪⎨ A = S n (ln L cc ( ˆψ g ) − ln L cc (ψg)),
b
avec
⎪⎩ B = α ‖ ˆψ g − ψg‖ b 2 ∞ + β 2 (
β 2 ‖L ′ ‖ 2 ( √ nK g + √ )
ηn + K g )β + ‖L‖ ∞ (K g + η) .
En posant β = β 0
√ n
pour tout β 0 > 0, nous obtenons finalement
B = α n‖ ˆψ g − ψ b g‖ 2 ∞ + β 2 0
β 2 0
(
‖L ′ ‖ 2 ( √ K g + √ η + K )
g
√ )β 0 + ‖L‖ ∞ (K g + η) . (4.22)
n
145