Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Annexe D. Espace des paramètres des GLMs
Calcul de la limite :
lim log L cc(ψ G ; y j )
β i →−∞
Idem que le cas de lim log L cc(ψ G ; y j ), sauf que les calculs montrent que les résultats sont
β i →+∞
⎧
⎪⎨ si ν i X j y j > 0 alors lim A i = +∞,
β
inversés par rapport au signe de ν i X j y j . Ainsi,
i →−∞
⎪⎩ si ν i X j y j < 0 alors lim A i = 0.
β i →−∞
⎧
⎪⎨ si ν k X j y j > 0 alors lim b i = 1,
β
Pour l’étude de B i , nous avons :
i →−∞
⎪⎩ si ν k X j y j < 0 alors lim b i = +∞.
β i →−∞
⇒ Finalement,
lim log L cc(ψ G ; y j ) = +∞.
β i →−∞
D.5 Mélange d’Inverses Gaussiennes
D.5.1
Décomposition de la log-vraisemblance L cc
La log-vraisemblance classifiante conditionnelle log L cc (ψ G ; y j ) peut s’écrire pour une observation
y j comme la somme de deux termes :
{ }} {
A i
{ }} √ {
( G∑ π i
log L cc (ψ G ; y j ) = log √ exp ( − 1 (y j − 1
X j β i
) 2
) )
i=1 2πσi 2y3 2
1
j
X j β i
σi 2y +
j
G∑
i=1
∑ G
k=1
π i
√
2πσ 2 i y3 j
√
π k
⎛
⎜
exp ⎝− 1 2
⎛
⎜
exp ⎝− 1 2
(
y j −
√
1
A
X j β i
) 2
1
X j β i
σ 2 i y j
(
y j −
√
1
⎞
⎟
⎠
X j β k
) 2
2πσk 2y3 1
j
X j β k
σk 2y j
} {{ }
b i
⎛
⎞ log
⎟ ⎜
⎠ ⎝
∑ G
k=1
π i
√
2πσ 2 i y3 j
π k
√
2πσ 2 k y3 j
⎛
⎜
exp ⎝− 1 2
⎛
⎜
exp ⎝− 1 2
(
y j −
√
1
X j β i
) 2
1
X j β i
σ 2 i y j
(
y j −
√
1
⎞
⎟
⎠
X j β k
) 2
1
X j β k
σ 2 k y j
⎞
⎞
.
⎟⎟
⎠⎠
} {{ }
}
B i =b i log b i
{{ }
B= P i B i
D.5.2
Calcul des limites et des cas critiques
Calcul de la limite :
lim log L cc(ψ G ; y j )
β i →+∞
→ Nous remarquons par un simple calcul que lim A i = 0, donc lim A = K.
β i →+∞ β i →+∞
→ De plus,
232
lim B i =
β i →+∞
lim b i log b i =
β i →+∞
lim
β i →+∞
A i
A log A i
A = 0 car A i → 0 et A → K.