Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 4. Sélection de mélange de GLMs
déjà dans ce mémoire, et vaut : ∀ψ G ∈ Ψ G ,
f(y j ; ψ G ) = L(ψ G ; y j ) =
=
=
G∑
π i f B (y j ; p i )
i=1
G∑
π i p i
i=1
G∑
i=1
π i
exp(X j β i )
1 + exp(X j β i ) ,
où β i = (β i0 , β i1 , ..., β ip ) T et X j = (1, X j1 , X j2 , ..., X jp ).
Nous en déduisons la log-vraisemblance classifiante conditionnelle d’une observation y j pour
les mélanges de régressions logistiques :
(
)
G∑ π i f B (y j ; p i )
ln L cc (ψ G ; y j ) = ln L(ψ G ; y j ) + ∑ G
i=1 k=1 π k f B (y j ; p k ) ln π i f B (y j ; p i )
∑ G
k=1 π k f B (y j ; p k )
( G
)
(
)
∑
G∑ π i f B (y j ; p i )
= ln π i f B (y j ; p i ) + ∑ G
k=1 π k f B (y j ; p k ) ln π i f B (y j ; p i )
∑ G
k=1 π .
k f B (y j ; p k )
D’où en développant,
ln L cc (ψ G ; y j ) = ln
( G
∑
i=1
)
e X jβ i
π i
1 + e X jβ i
i=1
+
i=1
i=1
e
G∑
X jβ i
⎛
e X jβ i
⎞
π i
1 + e X jβ i
π i
∑ G
k=1 π e X ln ⎜ 1 + e X jβ i
⎟
jβ k ⎝∑ G
k
1 + e X jβ k k=1 π e X jβ k ⎠ .
k
1 + e X jβ k
Toujours par l’étude des limites de cette vraisemblance aux frontières de l’espace des paramètres,
les contraintes à imposer deviennent flagrantes (annexe D.3.2). En fait, l’unique cas
critique pour la bornitude de la log-vraisemblance classifiante conditionnelle correspond à
β i → −∞. De par la relation bijective qu’il existe entre les paramètres θ i et φ i et les paramètres
originels de cette distribution, nous étendons ces contraintes aux contraintes à imposer
sur l’espace des paramètres de la famille exponentielle. Ainsi, il suffit d’imposer que θ i reste
borné.
Mélange de régressions Gamma
Parfois, l’erreur peut être de loi Gamma lorsque nous désirons modéliser la charge des
sinistres. Cette loi continue est à valeur dans l’ensemble des réels positifs, et ses paramètres µ
et ν appartiennent tous deux à l’ensemble des réels strictement positifs. Pour Y une variable
aléatoire de loi Gamma Γ(µ, ν), la densité est donnée par
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f(y; µ, ν) = 1
Γ(ν)
( ν
µ
) ν
y ν−1 exp
(− ν µ y )
.
Après quelques calculs, la densité d’un mélange de régressions Gamma pour une observa-