Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Annexe B. Méthodes de segmentation
Y i ∼ B(n i , p i ), avec n i le nombre d’expériences de bernoulli et p i la probabilité de succès
(rachat ici). Si nous notons Y la variable à expliquer (i.e. la décision de rachat), nous avons
{
1, si l’assuré rachète sa police,
Y =
0, sinon.
Nous pouvons maintenant adapter l’équation de régression logistique à notre contexte et nous
obtenons la probabilité de rachat p :
logit =
( )
P [Y = 1|X0 = x 0 , ..., X k = x k ]
ln
P [Y = 0|X 0 = x 0 , ..., X k = x k ]
= β 0 + β 1 X 1 + ... + β k X k
Finalement,
Φ(logit(p)) = Φ(Φ −1 (p)) = p
Φ(logit(p)) = Φ(β 0 + ∑ k
j=1 β jX j )
}
⇒ p = Φ(β 0 +
k∑
β j X j )
Cette écriture permet de comprendre plus facilement l’expression de la fonction de vraisemblance
en 1.2.2.
B.2.3
L’algorithme de Newton-Raphson
Maxmiser la fonction de log-vraisemblance (??) amène à la résolution du système (k + 1)
équations
⎧
∂l
⎪⎨
∂ ˆβ
= ∑ n
i=1 Y i − Φ(β 0 + ∑ k
j=1 β kX k ) = 0
0
∂l
⎪⎩
∂ ˆβ
= ∑ n
i=1 X ij(Y i − Φ(β 0 + ∑ k
j=1 β kX k )) = 0
j
∀j = 1, ..., k.
Le problème est que les solutions n’admettent pas de formules fermées et l’utilisation d’un
algorithme d’optimisation est alors indispensable. Souvent l’algorithme de Newton-Raphson
(basé en fait sur un développement de Taylor à l’ordre 1) est utilisé à cette fin. En SAS et en
R, cet algorithme est inclus et lance le processus itératif suivant :
( ∂
β (i+1) = β (i) 2 ln(L(β))
) −1 ( ∂ ln(L(β))
)
−
×
∂β∂β ′
∂β
j=1
(B.12)
Lorsque la différence entre β (i+1) et β (i) est plus petite qu’un certain seuil (disons par exemple
10 −4 ), les itérations s’arrêtent et nous obtenons la solution finale.
B.2.4 Estimation de la matrice de covariance
La matrice de variance Z des coefficients ˆβ s’écrit
⎛
V ar( ˆβ 0 ) Cov( ˆβ 0 , ˆβ 1 ) · · · Cov( ˆβ 0 , ˆβ ⎞
k )
Cov( ˆβ 1 , ˆβ 0 ) V ar( ˆβ .
1 ) .. .
⎜
⎝
.
.
. ..
⎟
. ⎠
Cov( ˆβ k , ˆβ 0 ) Cov( ˆβ k , ˆβ 1 ) · · · V ar( ˆβ k )
(B.13)
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