Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.2. Sélection de modèle mélange
Définissons
∀σ > 0, Ψ g (σ) =
{
}
ψ g ∈ Ψ g : ‖ψ g − ψg‖ b ∞ ≤ σ .
Autrement dit, on se place dans une boule fermée de rayon σ au voisinage de la solution
optimale.
Etant donné que Ψ g (σ) est convexe si Ψ g l’est, nous avons d’une part que ∀r ∈ N ∗ − {1},
∀ψ g ∈ Ψ g (σ), |ln L cc (ψ g ; y) − ln L cc (ψ b g; y)| r ≤ L ′ (y) 2 ‖ψ g − ψ b g‖ 2 ∞ (2L(y)) r−2
f 0 dλ − p.s.
On obtient par suite que ∀r ∈ N ∗ − {1}, ∀ψ g ∈ Ψ g (σ),
E f 0
[
|ln L cc (ψ g ; Y ) − ln L cc (ψ b g; Y )| r] ≤ ‖L ′ ‖ 2 2‖ψ g − ψ b g‖ 2 ∞ (2‖L‖ ∞ ) r−2
≤ r! ( ) r−2
2 (‖L′ ‖ 2 σ) 2 2‖L‖∞
.
2
D’autre part, nous pouvons appliquer le lemme 4 qui nous assure que ∀r ∈ N ∗ −{1}, ∀δ > 0, il
existe un ensemble de crochets C δ qui couvrent { (ln L cc (ψ g ; y) − ln L cc (ψ b g; y)) : ψ g ∈ Ψ g (σ) }
(déduit d’un ensemble de crochets qui couvriraient {(ln L cc (ψ g ; y) : ψ g ∈ Ψ g (σ)}) tel que :
∀r ∈ N ∗ − {1}, ∀[g l , g u ] ∈ C δ ,
‖g u − g l ‖ r ≤
( ) 1
r! r 2
δ r
2
( 4‖L‖∞
3
) r−2
r
,
et en notant H(δ, Ψ g (σ)) l’entropie, nous aurions au minimum le nombre de crochets :
⎛⎛
⎞
≤ 2σ
K g
{ }} {
e H(δ,Ψg(σ)) diam Ψ g (σ) ‖L ′ ‖ 2
≤ max ⎜⎜
⎟ , 1⎞
⎟
⎝⎝
δ ⎠ ⎠ . (4.15)
Nous utilisons alors le théorème 8 : ∃α constante, ∀ɛ ∈]0, 1], ∀A mesurable avec P(A) > 0,
[
]
√
E A sup S n (ln L cc (ψ g ) − ln L cc (ψg))
b ≤ E+(1+6ɛ)‖L ′ ‖ 2 σ 2n ln 1
ψ g∈Ψ g(σ)
P(A) + 8 3 ‖L‖ ∞ ln 1
P(A)
(4.16)
avec E = α (
√ ∫ ′ ɛ‖L ‖2 σ
√ 4 n
ɛ
0 H(u, Ψg (σ))du + 2
3 ‖L‖ ∞ + ‖L ′ ‖ 2 σ)
H(‖L ′ ‖ 2 σ, Ψ g (σ)).
En se servant de l’inégalité de Holder (dérivée de celle de Cauchy-Schwarz), on a : ∀t ∈ R + ,
∫ t
0
√
max
(ln 1 u , ln(1) )
du =
∫ min(t,1)
0
√
ln 1 u du
√ ∫ min(t,1)
≤ √ min(t, 1)
√
e
= min(t, 1) ln
min(t, 1)
0
ln 1 u du
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