Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Annexe D. Espace des paramètres des GLMs
D.4 Mélange de régressions Gamma
Pour étudier les limites de mélanges de cette classe de GLMs, il est nécessaire de rappeler
quelques propriétés liées à cette distribution de probabilité. Plus précisément, nous donnons
ici quelques notions sur la fonction Gamma qui intervient dans la densité de la loi Gamma.
Ainsi, { nous avons ∀z ∈ R +∗
Γ(z + 1) = zΓ(z),
Γ(z + 1) = z! (pour des entiers).
Au voisinage de l’infini, il existe un développement limité de Gamma : ∀z ∈ v(+∞),
Γ(z) = z √ [
z− 1
2 e
−z
2π 1 + 1
12z + 1
288z 2 + o( 1 ]
z 3 ) .
Nous pouvons donc dériver un simple équivalent de cette expression.
D.4.1
Décomposition de la log-vraisemblance L cc
La log-vraisemblance classifiante conditionnelle log L cc (ψ G ; y j ) peut s’écrire pour une observation
y j comme la somme de deux termes :
(
log L cc (ψ G ; y j ) = log
∑ G
i=1 k=1
A
{ }} {
i=1
A i
G∑ { }} {
π i
Γ(ν i ) (ν iX j β i ) ν i
π i
G∑ Γ(ν i ) (ν ⎛
iX j β i ) ν i
y ν i−1
j
e −ν iX j β i y j
⎜
π k
Γ(ν k ) (ν log
kX j β k ) ν k
y ν ⎝
k−1
j
e −ν kX j β k y j
} {{ }
b i
y ν i−1
j
e −ν iX j β i y j
)
+
∑ G
k=1
π i
Γ(ν i ) (ν iX j β i ) ν i
π k
Γ(ν k ) (ν kX j β k ) ν k
y ν i−1
j
e −ν iX j β i y j
y ν k−1
j
⎞
⎟
⎠ .
e −ν kX j β k y j
} {{ }
}
B i =b i log b i
{{ }
B= P i B i
D.4.2
Calcul des limites et des cas critiques
Calcul de la limite :
lim log L cc(ψ G ; y j )
ν i →0 +
→ Tout d’abord, lim A i = 0. Par conséquent, si tous les ν i (i = 1, ..., G) ne tendent pas vers
ν i →0 +
moins 0 en même temps alors lim A = K.
ν i →0 +
→ Toujours en raisonnant de la même façon, nous obtenons lim b i = 0 et lim B = K.
ν i →0 + ν i →0 +
⇒ Finalement, il vient donc
lim log L ∂ log L cc (ψ G ; y j )
cc(ψ G ; y j ) = K et lim
= +∞.
ν i →0 + ν i →0 + ∂ν i
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