Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

2.2. Impact de crises de corrélation des comportements
Figure 2.7 – Densité du taux de rachat pour des comportements indépendants (en noir et
pointillé) et pour des comportements corrélés (en rouge et trait plein) : le capital économique
associé (qui vaut la différence entre la VaR α et le “best estimate”) s’accroît avec la corrélation.
Density
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
VaR(beta)
VaR(beta)
Best estimate
VaR(alpha)
Economic capital
Economic capital
VaR(alpha)
30 35 40 45 50 55
surrender rate
2.2.4 Comparaison qualitative par ordres stochastiques
Soit M (p,p0 ) le nombre d’assurés qui rachètent leur contrat dans le modèle où P (J 1 = 1) =
p 0 et P (I 1 = 1) = p. Examinons comment les valeurs de p et p 0 affectent la distribution du
taux de rachat conditionnel. Nous utilisons pour cela l’ordre stochastique s−convex (Lefèvre
and Utev (1996) et Denuit et al. (1998)).
Sachant deux variables aléatoires X et Y , pour s = 1, 2, . . ., nous avons
X ≤ D s−cx Y si E[φ(X)] ≤ E[φ(Y )] pour tout s-fonction convexe φ : D → R, (2.1)
dont la s-eme dérivée existe et satisfait φ (s) ≥ 0. Les (s-1) premiers moments de X et Y sont
d’ailleurs nécessairement égaux. L’ordre ≤ D 1−cx correspond à l’ordre stochastique simple ≤ 1,
≤ D 2−cx est l’ordre convexe usuel ≤ 2 (qui implique en particulier que V ar(X) ≤ V ar(Y )). De
plus, X est dit plus petit que Y dans l’ordre convexe croissant (noté ≤ icx ) si
E (f(X)) ≤ E (f(Y ))
pour toute fonction convexe croissante telle que l’espérance existe.
Proposition 3. Lorsque le paramètre de corrélation est fixé, le nombre de rachats est stochastiquement
croissant en p : pour p 0 ∈ (0, 1) fixé, si p < p ′ alors
M (p,p0 ) ≤ 1 M (p ′ ,p 0 ).
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