Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.3. Extension aux mélanges de GLMs
La densité d’une observation avec des mélanges de régressions de Poisson s’exprime sous
la forme suivante après quelques calculs : ∀ψ G ∈ Ψ G ,
f(y j ; ψ G ) = L(ψ G ; y j ) =
=
=
G∑
π i f P (y j ; µ i )
i=1
G∑
i=1
π i exp(−µ i ) µy j
i
y j !
G∑
π i exp (− exp(X j β i )) [exp(X jβ i )] y j
,
y j !
i=1
où β i = (β i0 , β i1 , ..., β ip ) T et X j = (1, X j1 , X j2 , ..., X jp ).
Cette densité de mélange nous permet d’exprimer la vraisemblance classifiante conditionnelle
qui en découle (toujours pour une observation y j ) :
(
)
G∑ π i f P (y j ; µ i )
ln L cc (ψ G ; y j ) = ln L(ψ G ; y j ) + ∑ G
i=1 k=1 π k f P (y j ; µ k ) ln π i f P (y j ; µ i )
∑ G
k=1 π k f P (y j ; µ k )
( G
)
(
)
∑
G∑ π i f P (y j ; µ i )
= ln π i f P (y j ; µ i ) + ∑ G
i=1
i=1 k=1 π k f P (y j ; µ k ) ln π i f P (y j ; µ i )
∑ G
k=1 π k f P (y j ; µ k )
[ ]
(
∑ G
[ ]
= ln π i e −eX j β i e
X j β yj
)
i
G∑
π i e −eX j β i e
X j β yj
⎛
[ ]
i
y j !
π i e −eX j β i e
X j β yj
⎞
i y j !
+
[ ]
y
i=1
j !
G∑
i=1
π k e −eX j β k e
X j β yj ln ⎜
[ ]
k ⎝ G∑
π k e
y j !
−eX j β k e
X j β yj ⎟
k ⎠
y j !
k=1
Faisons tendre le paramètre µ i vers les frontières de son domaine de définition et étudions
les limites de la vraisemblance L cc . Nous obtenons comme contrainte après calculs (cf
annexe D.2.2) que les coefficients de régression β i des composantes doivent rester bornés
(|β i | ≠ ∞), ce qui signifie la même contrainte pour les paramètres θ i .
Mélange de régressions logistiques
Dans nos applications, c’est le mélange que nous utilisons : en effet, le nombre de rachats
à l’échelle d’un portefeuille suit une loi binomiale B(n, p). Cette loi fait partie de la famille
exponentielle, a un support défini par l’ensemble des entiers naturels, et ses paramètres n et p
représentent respectivement le nombre d’assurés en portefeuille et la probabilité individuelle de
rachat. n est un entier naturel, et p ∈ [0, 1]. La variable aléatoire Y représentant la proportion
de rachat dans la population prend donc des valeurs dans [0, 1/n, ..., 1] et admet pour densité
P (Y = y) = f(y; n, p) = C ny
n p ny (1 − p) n−ny .
Nous pouvons encore une fois transformer l’écriture de cette densité sous la forme de celle de
la famille exponentielle, en fixant le paramétrage donné par le tableau 4.2.
En travaillant sur une observation, la décision de rachat est une loi de Bernoulli de paramètre
p. La densité des mélanges de régressions logistiques a été donnée à plusieurs reprises
k=1
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