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Chapitre 2. Crises de corrélation des comportements ter certains problèmes évoqués au chapitre 1 comme la durée de la période couverte pour étudier le phénomène. Si elle est trop courte, on n’observerait aucun rachat (puisqu’il faut généralement un minimum d’ancienneté avant que le rachat puisse se faire), si elle est trop longue on observerait un taux de rachat proche de 100% ; les deux situations n’étant pas réalistes. De plus, le fait de modéliser mensuellement les décisions des assurés permet de rendre compte du fait que dans la réalité les assurés sont susceptibles de se poser fréquemment la question du rachat de leur contrat (en tout cas plusieurs fois dans l’année). Grossièrement, cette modélisation dynamique pose deux problèmes majeurs : la stabilité et la robustesse. Ces écueils sont dûs à l’ajout d’une hypothèse très forte, l’indépendance temporelle entre les décisions. Nous considérons que la décision d’un assuré à la date t + 1 est indépendante de ce qui s’est passé avant, et notamment indépendante de sa décision à la date t. Pour construire la base de données nécessaire à cette analyse, nous dupliquons chaque assuré chaque mois où il est présent en portefeuille (ce qui nous donne un échantillon global de 991 010 lignes) et mettons à jour ses caractéristiques (indices économiques, ancienneté,...), à partir de la même base de données que celle utilisée au chapitre 1. Cette opération peut donner lieu à l’introduction d’un nouveau biais : les caractéristiques des assurés qui restent le plus longtemps en portefeuille sont sur-représentées. Ceci dit et après vérification, ce biais ne joue pas beaucoup sur nos résultats lorsque nous les comparons aux coefficients de régression d’un modèle de Cox, dans lequel les assurés et leurs caractéristiques ne sont pas dupliqués (car c’est un modèle de survie). Après s’être assuré que nous lançons cette analyse sur une période représentative du portefeuille (à maturité), il est possible de voir la qualité de la modélisation en comparant le taux de rachat observé avec le taux de rachat prédit sur un pas mensuel. Les échantillons d’apprentissage et de validation sont construits différemment ici : l’apprentissage représente environ deux tiers de la période étudiée, soit de Janvier 2000 à Mars 2005 (629 357 observations) ; tandis que la validation s’effectue sur la période restante (Avril 2005 à Décembre 2007, 361 653 observations). Cette technique de validation “temporelle” permet de rendre compte de l’exposition des assurés à des contextes économiques différents, et ainsi de tester non pas uniquement la qualité d’adéquation du modèle mais aussi son réel pouvoir prédictif pour des simulations futures de taux de rachat. Les covariables introduites dans la régression logistique sont le mois d’observation (effet de saisonnalité) et le contexte économique (taux de chômage, taux crédité des contrats, Ibex 35, taux d’intérêt court terme 1Y et long terme 10Y 6 ), en plus des covariables considérées dans l’analyse statique. Nous négligeons le décès des assurés lorsque nous réalisons les prévisions futures, car c’est un évènement rare (taux ≃ 2e −4 ). La période d’observation a visiblement une grande influence sur le calibrage du modèle au vu des résultats de la figure 2.1 : nous constatons les bonnes qualités d’adéquation du modèle sur la période d’apprentissage, de même que ses mauvaises qualités prédictives observées en 2007. Les figures 2.1 et 2.2 montrent que le niveau moyen de rachat augmente lorsque le taux de participation aux bénéfices décroît fortement (2003-2004), dénotant une relation claire entre les taux crédités et les taux de rachat. Finalement les résultats ont l’air acceptable bien que le modèle marche très mal en situation extrême ; mais un modèle est-il censé marcher en régime extrême ? La crise financière qui s’est déclarée dans l’année 2007 a très certainement fait évoluer l’importance des facteurs explicatifs clef du rachat en accordant plus d’importance aux facteurs exogènes (indices boursiers, taux d’intérêts) qu’endogènes, ce qui ne semble pas forcément être le cas en régime de croisière. En période de crise, l’hypothèse d’indépendance 6. Données économiques et financières récupérées sur les sites Yahoo Finance et OCDE Stats. 46
2.1. Problème de la régression logistique dynamique Figure 2.1 – Prévisions du taux de rachat collectif (du portefeuille) avec l’inclusion de covariables économiques. Sur la gauche, les prévisions sur l’échantillon d’apprentissage et sur la droite les prévisions Learning sursample l’échantillon (month basis), de validation. Mixtos products (All) Validation sample (month basis), Mixtos products (All) Observed surr. rate Modeled surr. rate 95 % confidence interval Observed surr. rate Modeled surr. rate 95 % confidence interval surrender rate 0% 2% 4% 6% 8% surrender rate 0% 2% 4% 6% 8% 2000 2001 2002 2003 2004 2005 date 2006 2007 date (temporelle et entre agents) semble violée, ce qui fait chuter très nettement le taux de rachat du portefeuille sur les produits mixtes espagnols dans l’année 2007 : concrètement les taux garantis par les contrats sont très intéressants comparés aux taux d’intérêts qui baissent sans arrêt, incitant les assurés à prendre une décision commune (garder à tout prix leur contrat). Le modèle ne prévoit pas cette chute subite car il ne capte visiblement pas les effets dans leurs bonnes proportions en ce qui concerne les variables conjoncturelles (ou exogènes). Cet écart entre prévision et observation s’explique en partie par une hypothèse sous-jacente au modèle : spread[-c(1:12)] 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 2000 2002 2004 2006 2008 dates.spread[-c(1:12)] Figure 2.2 – Taux crédité mensuel des contrats Mixtes. Ce taux comprend le taux moyen garanti ainsi que taux de PB moyen servi. 47
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