Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

1.2. Segmentation par modèle logistique (Logit)
robustesse et significativité ont été validées dans diverses études ((Breiman (1996), Breiman
(1994) et Breiman (1998)). Elles ont amené au développement des “forêts aléatoires” (Breiman
(2001)), un algorithme que nous utiliserons dans nos applications. Pour plus de détails,
consulter la page web de Breiman et la documentation de la librairie randomForest 3 du
logiciel R, de même que Breiman et al. (1984).
1.2 Segmentation par modèle logistique (Logit)
La régression logistique (Hosmer and Lemeshow (2000), Balakrishnan (1991)) appartient
à la classe des modèles linéaires généralisés (McCullagh and Nelder (1989)). Elle permet de
modéliser la probabilité d’occurence d’un événement binaire à partir de covariables catégorielles
ou continues, en ajustant une courbe logistique aux données. Ce modèle de choix est
utilisé dans le cadre des régressions binomiales, principalement dans le domaine médical et
dans le monde du marketing. Les actuaires l’utilisent également pour modéliser la mortalité
(qui présente une croissance exponentielle en fonction de l’âge, non loin de la forme logistique
pour de petites probabilités) à partir de données empiriques, avec pour but la segmentation
de leur portefeuille. Dans notre contexte, l’objectif est de segmenter la population par rapport
au risque binaire du rachat. La présentation théorique sera raccourcie étant donnée la popularité
de cette modélisation ; quelques exemples d’application sont consultables dans Kagraoka
(2005), ainsi que certains modèles similaires dont le modèle Tobit (Cox and Lin (2006)) ou
le modèle de Cox (Cox (1972)). Pour de plus amples comparaisons de ces différents modèles,
l’article d’Austin (2007) est une référence intéressante.
1.2.1 Pourquoi utiliser la régression logistique ?
La fonction logistique est très utile car elle permet d’obtenir une image Φ(z) dans [0,1] à
partir d’un antécédent z prenant des valeurs sur l’ensemble de la droite des réels :
Φ(z) =
1 ez
=
1 + e−z 1 + e z . (1.9)
Notre volonté de modéliser une probabilité de rachat entre complètement dans ce cadre-là,
sachant de plus que la propriété de non-décroissance d’une fonction de répartition classique
est respectée par la fonction logistique. L’exposition z à un ensemble de facteurs de risque est
appelé prédicteur linéaire. Il est donné par l’équation de régression classique
z = β 0 + β 1 X 1 + ... + β p X p = X T β,
où les X k sont les covariables (explicatives), par exemple l’âge. Ainsi ∀k = 1, ..., p; β k représente
le coefficient de régression associé au facteur de risque k. Nous noterons les coefficients de
régression β = (β 0 , ..., β k ) T et le vecteur des variables X = (1, X 1 , ..., X p ) T .
Si l’on considère une approche stricte de régression, l’idée est de transformer la sortie d’une
régression linéaire classique pour obtenir une probabilité en utilisant une fonction de lien (ici
le “logit-link”, mais il existe aussi d’autres liens comme le “probit”, etc).
3. Disponible à http ://cran.r-project.org/web/packages/randomForest/index.html
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