Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 3. Mélange de régressions logistiques
le lecteur intéressé pourra alors consulter les travaux de Bohning and Seidel (2003) et Garel
(2007), dans lesquels des références et des études théoriques (avec application) sont proposées.
3.1.5 Focus sur les mélanges de Logit dans le contexte des rachats
Les mélanges de régressions logistiques font partie intégrante des modèles mélanges semiparamétriques.
Un résumé et une revue bibliographique de ce type de modèles est disponible
dans le papier de Lindsay and Lesperance (1995), et des applications dans le domaine de la
biologie sont fournies dans Follmann and Lambert (1989) et Wang (1994). Nous avons vu au
chapitre 1 que la régression logistique était adaptée aux données binomialement distribuées.
Ainsi en notant p i (X j ) la probabilité de rachat de N j individus homogènes (ayant les mêmes
caractéristiques X j ) appartenant à la composante i du mélange, et en reprenant les notations
ci-dessus avec Y j ∼ Bin(N j , p i (X j )) :
f i (y j ) = f(y j ; p i (X j )) = P (Y j = y j ) = C y j
N j
p i (X j ) y j
(1 − p i (X j )) N j−y j
, (3.6)
où y j est le nombre de rachats observés dans le groupe homogène j, et p i (X j ) résulte du lien
logistique
p i (X j ) = exp(βT i X j)
1 + exp(β T i X j) ,
avec X j = (X j1 , ..., X jp ) T le vecteur des p covariables de l’individu j, β i = (β i1 , ..., β ip ) T le
vecteur des p coefficients de régression de la composante i.
Considérons la moyenne et la variance du modèle mélange de régressions logistiques tel que
f(y j ; ψ) =
G∑
π i (X j)f(y ′ j ; p i (X j )).
i=1
L’interprétation de ce modèle est la suivante : il existe plusieurs groupes qui suivent des distributions
logistiques différentes, avec chacun une proportion π i (X ′ j ). Cette proportion peut donc
dépendre de certaines variables explicatives, à condition que l’identifiabilité soit préservée (cf
ci-dessous). La moyenne et la variance sont facilement calculables par les formules suivantes :
E[Y j ] = E Z [E[Y j | Z j ]] =
G∑
P (Z ij = 1)E[Y j | Z j ] =
i=1
Var[Y j ] = E [Var[Y j |Z j ]] + Var [E[Y j |Z j ]]
[ G
] ]
∑
G∑
= N j π ij p ij
[1 − π ij p ij
i=1
i=1
G∑
π ij p ij ,
i=1
+ (N j − 1)
N j
Var [E[Y j |Z j ]] ,
avec Var [E[Y j |Z j ]] = N 2 j
[ ∑G
i=1 π ijp 2 ij − (∑ G
i=1 π ijp ij ) 2 ].
Dans le cas général, nous considérons également des poids π i (X ′ j ) qui dépendent de certains
facteurs endogènes ou exogènes, ce qui nous amène à les définir aussi comme des régressions
logistiques multinomiales (rappelons que Z j est multinomiale), soit :
76
π i (X ′ j) =
exp(γi T X ′ j
∑ )
G
h=1 exp(γT h X (3.7)
′
j
),