Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.2. Sélection de modèle mélange
Ce lemme est une application de l’inégalité de Markov. Il est très utile pour obtenir des
résultats en probabilité à partir de résultats en espérance. C’est d’ailleurs ce lemme qui nous
permettra d’utiliser le théorème 8 ci-dessous dans une version où la conclusion vaudrait en
probabilité (c’est notre objectif final). En l’occurence, nous avons également besoin du lemme
suivant pour démontrer le théorème 8 :
Lemme 7. (Lemme 4.23 dans Massart (2007))
Soit S un ensemble dénombrable, u ∈ S et a : S → R + telle que a(u) = inf t∈S a(t).
Soit Z un processus indexé par S.
Supposons que ∀σ > 0, E[sup t∈B(σ) Z(t) − Z(u)] < ∞ avec B(σ) = {t ∈ S; a(t) ≤ σ}.
Alors,
pour une quelconque fonction ϕ sur R + telle que ϕ(y) est décroissante sur R + et satisfait
y
[
]
nous avons
∀σ ≥ σ 0 ,
∀y > σ 0 ,
E
sup Z(t) − Z(u)
t∈B(σ)
< ϕ(σ),
[
]
Z(t) − Z(u)
E sup
t∈S a 2 (t) + y 2 ≤ 4 y 2 ϕ(y).
Ce résultat est tout à fait primordial pour passer d’un contrôle local à un contrôle global des
accroissements d’un processus. Il permet de lier les accroissements d’un processus entre deux
points par rapport à la distance entre ces deux points. Dans notre cadre, nous l’appliquons
à la différence entre l’espérance de la log-vraisemblance L cc en ψ b g et son estimateur. Cette
différence est censée tendre vers 0 avec une vitesse de convergence en n 1/2 (théorème central
limite) ; mais elle y tend en fait plus vite grâce à ce lemme, avec une vitesse de convergence
en n.
Théorème 8. (Théorème 6.8 dans Massart (2007))
Soit F une classe dénombrable de fonctions mesurables à valeurs dans R.
Supposons que
[
∃ σ > 0, ∃ b > 0 tel que ∀f ∈ F, ∀k ≥ 2, E |f(Y i )| k] ≤ k!
2 σ2 b k−2 ,
et ∀δ > 0, ∃C δ un ensemble de crochets qui couvrent F tels que,
[
]
∀[g l , g u ] ∈ C δ , ∀k ∈ N ∗ − {1}, E (g u − g l ) k (Y i ) ≤ k!
2 δ2 b k−2 .
Soit e H(δ) le plus petit cardinal d’une telle couverture de F.
Alors
∃κ une constante absolue telle que ∀ɛ ∈]0, 1], ∀A mesurable avec P(A) > 0,
]
√
E
[sup
A S n (f) ≤ E + (1 + 6ɛ)σ 2n ln 1
1
+ 2b ln
f∈F
P(A) P(A)
avec E = κ √ ∫ ɛσ
√
n
ɛ
0 min(H(u), n)du + 2(b + σ)H(σ).
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