Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 4. Sélection de mélange de GLMs
où α ′ > 0 dépend de I ψ b g
et la fonction r : R + ↦→ R satisfait r(y) −→ 0.
y→0
Ainsi, pour ‖ψ g − ψg‖ b ∞ assez petit, nous obtenons
∀ψ g ∈ B(ψ b g, ɛ), E f 0 [ln L cc (ψ g )] − E f 0
Puisque S n (ln L cc ( ˆψ n ) − ln L cc (ψ b g)) = n(L n ( ˆψ n ) − L n (ψ b g)) + n E f 0
on obtient S n (ln L cc ( ˆψ n ) − ln L cc (ψ b g)) ≥ n E f 0
[ ]
ln L cc (ψg)
b ≥ α ′ ‖ψ g − ψg‖ b 2 ∞. (4.19)
[
ln L cc (ψg) b − ln L cc ( ˆψ
]
n ) ,
[
ln L cc (ψg) b − ln L cc ( ˆψ
]
n ) − O P (1). (4.20)
D’après les équations (4.18), (4.19) et (4.20), on a après quelques développements
⎛
P ⎝n‖ ˆψ n − ψg‖ b 2 ∞ ≤ ‖L′ ‖ 2 ( √ nK g + √ ⎞
ηn + K g )β + ‖L‖ ∞ (K g + η) + O P (1)
α ′
α − 1 (
nβ ‖L ′ ‖ 2 2 ( √ nK g + √ ηn + K g )β + ‖L‖ ∞ (K g + η) ) ⎠ > 1 − e −η ,
tant que le dénominateur du membre gauche est positif.
Il suffit ensuite de choisir β pour que cette condition soit satisfaite, et pour que le membre
gauche de la dernière équation soit majoré par une quantité qui ne dépende pas de n pour
obtenir le résultat. Essayons avec β = √ β 0
n
, où β 0 est indépendant de n :
⎛
P ⎝n‖ ˆψ n − ψg‖ b 2 ∞ ≤
soit
⎛
‖L′ ‖ 2 ( √ K g + √ ⎞
η + √ Kg
n
)β 0 + ‖L‖ ∞ (K g + η) + O P (1)
(
‖L ′ ‖ 2 ( √ K g + √ ) ⎠ > 1 − e −η ,
η + √ Kg
n
)β 0 + ‖L‖ ∞ (K g + η)
α ′
α − 1
β 2 0
P ⎝n‖ ˆψ n − ψg‖ b 2 ∞ ≤ ‖L′ ‖ 2 ( √ K g + √ ⎞
η + K g )β 0 + ‖L‖ ∞ (K g + η) + O P (1)
(
‖L ′ ‖ 2 ( √ K g + √ η + K g )β 0 + ‖L‖ ∞ (K g + η) ) ⎠ > 1 − e −η .
α ′
α − 1
β 2 0
L’idée maintenant est de choisir un β 0 assez grand pour que cette inégalité soit toujours
vérifiée. Ensuite le résultat est immédiat : ∀η > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ , ∀n ≥ n 0 ,
(
P n‖ ˆψ
)
n − ψg‖ b 2 ∞ = CO P (1) > 1 − e −η ,
avec C qui dépend de K g , ‖L‖ ∞ , ‖L ′ ‖ 2 , I ψ b g
et η.
La dépendance de O P (1) en K g , ‖L‖ ∞ , ‖L ′ ‖ 2 et I ψ b g
n’est pas problématique dans le sens
où nous souhaitons un résultat asymptotique sur l’ordre de ‖ ˆψ n − ψg‖ b 2 ∞ par rapport à n.
L’hypothèse sur I ψ b g
joue un rôle similaire à l’hypothèse (H2-A) du théorème 4 : en effet,
[
elle assure que E f 0 [ln L cc (ψ g ; Y )] ne puisse être proche de E f 0 ln Lcc (ψg; b Y ) ] si ψ g n’est pas
proche de ψg. b Cependant, cette hypothèse est plus forte : elle permet aussi de contrôler la
[
relation entre E f 0 [ln L cc (ψ g ; Y )] − E f 0 ln Lcc (ψg; b Y ) ] et ‖ψ g − ψg‖ b ∞ pour nous permettre de
conclure. Afin de replacer ce résultat dans le contexte de sélection de modèle, nous devons
généraliser ce résultat à un univers de modèles ayant des dimensions différentes.
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