Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 4. Sélection de mélange de GLMs
Table 4.1 – GLMs et différentes lois de la famille exponentielle associées.
Loi Notation Lien Moyenne Utilisation
Normale N (µ, σ 2 ) Id : η = µ µ = Xβ Régression linéaire
Bernoulli B(µ) logit : η = ln( µ
1−µ ) µ = exp(Xβ)
1+exp(Xβ)
Taux
Poisson P(µ) log : η = ln(µ) µ = exp(Xβ) Fréquence
Gamma G(µ, ν) inverse : η = 1 µ
µ = (Xβ) −1 Sévérité
Inverse Gaussienne IN (µ, λ) inverse 2 : η = − 1 µ 2 µ = (Xβ) −2 Sévérité
– paramètre de tendance : le paramètre θ j ;
– paramètre de dispersion : le paramètre φ j .
Nous pouvons expliciter ces paramètres et fonctions dans chacune des classes de la famille
GLM, en fonction des paramètres initiaux des distributions. Un autre atout de cette représentation
réside dans la facilité avec laquelle de nombreux résultats peuvent être dérivés. A
partir de l’équation (4.23), nous obtenons par exemple directement la log-vraisemblance pour
une observation y j :
ln L(θ, φ; y j ) = ln f Y (y j ; θ, φ) = y jθ − b(θ)
a(φ)
+ c(y j , φ).
Il est aisé de remonter au calcul de l’espérance et de la variance de la loi des Y : pour cela,
les formules (4.24) et (4.25) peuvent être utilisées (McCullagh and Nelder (1989), p.29). De
même, cet ouvrage détaille les méthodes numériques de calibration des modèles, ainsi que
les tests concernant la bonne adéquation du modèle aux données observées (voir p. 33, 37 et
42). Afin de définir les ensembles de définition des différents paramètres en adoptant la forme
d’écriture générale de la densité de la famille exponentielle, nous utiliserons essentiellement
les propriétés suivantes :
E[Y ] = b ′ (θ), (4.24)
Var[Y ] = b ′′ (θ)a(φ), (4.25)
où b ′ (θ) et b ′′ (θ) désignent les dérivées première et seconde de b(.) par rapport à θ.
4.3.2 Caractéristiques des mélanges de GLMs
Définissons tout d’abord les mélanges de GLMs auxquels nous nous intéressons. Il s’agit de
mélanges discrets (à support discret) dont les composantes appartiennent toutes à la même
famille de GLM, ce qui est concrètement le type de modèles utilisé dans la pratique. Ainsi,
l’ensemble de ces modèles est défini par
M G =
{
f(.; ψ G ) =
}
G∑
π i f glm (.; θ i , φ i ) | ψ G = (π 1 , ..., π G , θ 1 , ..., θ G , φ 1 , ..., φ G ) ∈ Ψ G ,
i=1
{ }
avec Ψ G ⊂ Π G × (R d ) 2G yθi − b(θ i )
, et f glm (y; θ i , φ i ) = exp
+ c(y; φ i ) .
a(φ i )
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