Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.3. Extension aux mélanges de GLMs
Ces propriétés sont fondamentales pour la construction d’intervalles de confiance de nos estimateurs.
Remarque 1 : l’hypothèse 5 induit que l’estimateur des moindres carrés est identique à l’estimateur
par maximum de vraisemblance.
Remarque 2 : c’est un abus de langage que de parler de relation linéaire entre Y et X. En fait
c’est une relation affine du vecteur β qui nous intéresse. Voici quelques exemples de modèles
de régression linéaire :
– Y j = β 0 + β 1 ln x j + ɛ j ;
– Y j = β 0 + β 1 x j + β 2 x 2 j + ɛ j ;
– le modèle logistique présenté au chapitre 1 est un modèle linéaire.
A titre de contre exemple, le modèle Y j = β 0 + exp(β 1 x j ) + ɛ j n’est pas linéaire...
En regardant les hypothèses, nous pouvons d’ores et déjà remarquer que certaines d’entre
elles sont fortes. Lorsque nous essayons d’estimer numériquement les paramètres, une colinéarité
dans la matrice de schéma empêche l’inversibilité de celle-ci et ne permet donc pas
d’obtenir les résultats. Une solution consiste donc à enlever une à une les variables explicatives.
D’autre part la variance entre individus est supposée constante : nous pouvons nous affranchir
de cette hypothèse par l’utilisation de certaines transformations (exemple : Box-Cox), mais ces
transformations ne sont pas toujours satisfaisantes au vu des données. Enfin, nous constatons
que la principale limitation de la régression linéaire concerne le domaine de définition de la
variable réponse. En effet, le prédicteur est un réel, alors que parfois nous aimerions que notre
réponse ait un domaine de définition différent, à ajuster suivant nos applications.
Evolution vers les GLMs
Pour présenter de manière simple et claire les GLMs, il suffit de se rendre compte que ce
type de modèles est caractérisé par trois entités :
1. une entité aléatoire qui dicte la loi de l’erreur : Y j suit une distribution de la famille
exponentielle F exp (θ j , φ j , a, b, c), avec paramètres θ j et φ j ; et fonctions a, b et c ;
2. une entité déterministe qu’est le prédicteur, souvent noté η : η j = X j β ;
3. une fonction de lien l, monotone, dérivable, et qui admet une fonction réciproque notée
l −1 . Elle lie la moyenne µ j de la réponse au prédicteur : l(E[Y j ]) = η j .
En prenant l = Id et Y ∼ N (Xβ, σ 2 ), nous retombons ainsi sur le modèle linéaire classique.
Cependant, il existe de multiples choix possibles pour la fonction de lien l ainsi que pour la
loi de Y . Le tableau 4.1 résume ces choix et leur application principale dans le domaine de
l’assurance. Nous pouvons calculer la vraisemblance d’un modèle linéaire généralisé grâce à
l’expression générale de la densité de la famille exponentielle. En effet, si Y suit une loi de la
famille exponentielle alors sa densité est donnée par :
{ }
yj θ − b(θ)
f Y (y j ; θ, φ) = exp
+ c(y j , φ) , (4.23)
a(φ)
où a(.), b(.) et c(.) sont des fonctions spécifiques suivant le modèle considéré. La fonction a(φ)
est de la forme φ ω
, où ω correspond à un poids (une “exposition” dans le jargon assurantiel),
très souvent constant égal à 1 (cas individuel). D’un point de vue vocabulaire, nous appelons :
– lien canonique : tout lien qui permet de vérifier θ j = µ j , où µ j = E[Y j ] ;
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