Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 2. Crises de corrélation des comportements
Figure 2.10 – Taux de rachat mensuel versus ∆r.
plateau en Région 2). C’est évidemment une première source d’erreur car ce choix est arbitraire,
mais nous nous intéressons principalement à l’impact de la corrélation entre comportements
ici. C’est la raison pour laquelle nous introduisons ce modèle comme exemple réel et illustratif,
en gardant en tête que la prévision des taux de rachat va au-delà des objectifs de ce chapitre.
Soit Y la variable aléatoire du taux de rachat. La moyenne empirique du taux de rachat en
Région 1, notée Ỹn 1
, vaut
Ỹ n1 = 1 n 1
∑ n1
i=1 Y i,1, où n 1 est le nombre d’observations Y i,1 en Région 1.
L’écart-type empirique, noté ˜σ n1 , est donné par l’estimateur non-biaisé usuel :
√ 1 ∑
˜σ n1 =
n1
i=1
(n 1 − 1)
(Y i,1 − Ỹn 1
) 2 .
Les applications numériques donnent comme résultats Ỹn 1
= 6.73×10 −3 , et ˜σ n1 = 4.28×10 −3 .
Ainsi le coefficient de variation, noté ˜ν n1 et défini par ˜ν n1 = ˜σ n 1
Ỹ n1
, vaut 63,5% en Région 1.
Cette valeur reflète une forte surdispersion des données.
Ces statistiques sont clairement discutables car basées sur peu d’observations, mais la surdispersion
provient principalement d’effets cohortes conjugués aux contraintes de pénalité. La
dépendance calendaire peut aussi jouer un rôle.
A cause du manque d’observation en Région 2, la deuxième hypothèse consiste à supposer
le coefficient de variation constant quelle que soit la moyenne du taux de rachat. Cela nous
permet d’approcher l’écart-type de la Région 2, donné par ˜σ n2 = Ỹn 2
Ỹ n1
˜σ n1 ≃ 0.022. Encore
une fois, ce choix est arbitraire mais il a l’avantage d’être relativement objectif.
Nous simulons donc en Région 1 des expériences de Bernoulli de paramètre p 1 égal à Ỹn 1
,
et vérifions que la distribution des taux de rachat est proche d’une gaussienne dont la moyenne
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