Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.3. Extension aux mélanges de GLMs
Résumé des contraintes à imposer sur l’espace des paramètres
Le tableau 4.2 reprend l’ensemble des résultats de l’étude de chaque classe de la famille
des GLMs. Il permet de récapituler le support contraint de chaque paramètre θ et φ, ce qui va
nous être très utile pour la formulation des hypothèses de convergence de l’estimateur ML cc E
et du critère de sélection ICL. En effet, nous voyons bien que l’ensemble des membres de la
famille GLM se comporte de manière identique d’un point de vue des contraintes à imposer
sur les paramètres de la famille exponentielle. Dès que le paramètre de tendance et/ou la
dispersion sont bornés, la log-vraisemblance classifiante conditionnelle reste finie (à condition
que la dispersion ne tende pas vers 0), de même que sa dérivée (dont particulièrement la
dérivée de l’entropie !). Ces résultats montrent tout l’intérêt de se placer dans des ensembles
compacts pour l’espace des paramètres.
4.3.3 Propriétés de convergence avec les mélanges de GLMs
Nous avons longuement discuté des hypothèses qui interviennent dans les théorèmes et
lemmes précédents. Finalement, il apparait que le point essentiel à vérifier est la bornitude
de la vraisemblance classifiante conditionnelle, ainsi que de sa dérivée. L’étude plus précise de
chaque famille des GLM a montré qu’il n’était pas nécessaire d’imposer des contraintes sur les
fonctions a(), b() et c() de la famille exponentielle. Nous savons donc qu’en imposant des bornes
sur les paramètres de localisation et de dispersion des membres des GLM, nous vérifions l’ensemble
des hypothèses requises (notamment le fait que cette famille soit P-Glivenko-Cantelli).
Evidemment, certaines autres hypothèses sont indispensables dans la pratique (support borné
pour les densités, matrice d’information inversible, compacité/convexité de l’espace des paramètres,
...), mais elles ne semblent pas poser de problème concrètement.
Loi de Y : Normale Binomiale Poisson Gamma Inverse Gaussienne
N (µ, σ 2 ) B(n, µ) P(µ) G(µ, ν) IN (µ, σ 2 )
Supports y ∈ R y ∈ 0, n y ∈ N y ∈ R + y ∈ R +
µ ∈ R n ∈ N ∗ µ ∈ R + µ ∈ R +∗ µ ∈ R +∗
σ 2 ∈ R +∗ µ ∈ [0, 1] ν ∈ R +∗ σ 2 ∈ R +∗
Tendance θ(µ) µ ln[µ/(1 − µ)] ln µ −µ −1 −(2µ 2 ) −1
Support de θ θ ∈ R θ ∈ R θ ∈ R θ ∈ R −∗ θ ∈ R −∗
Dispersion φ σ 2 1 1 ν −1 σ 2
Support de φ φ ∈ R +∗ φ ∈ R +∗ φ ∈ R +∗
Fonction b(θ) θ 2 /2 ln(1 + e θ ) e θ − ln(−θ) −(−2θ) 1/2
Fonction c(y, Φ) − 1 ( )
y
2
2 Φ + ln(2πφ) ln(Cn ny ) − ln(y!) − 1 {
ln(2πΦy 3 ) + 1 }
2
Φy
µ(θ) = E[Y ; θ] θ e θ /(1 + e θ ) e θ −1/θ (−2θ) −1/2
|θ| < +∞ |θ| < +∞ |θ| < +∞ |θ| < +∞ |θ| < +∞
Contraintes φ < +∞ φ < +∞ φ < +∞
φ ↛ 0 φ ↛ 0 φ ↛ 0
Table 4.2 – Résumé des contraintes sur l’espace des paramètres des GLMs.
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