Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

3.2. Cas pratique d’utilisation de mélange de Logit
avec X ′ j = (X ′ j1 , ..., X ′ jl )T un ensemble de l covariables de l’individu j et γ i = (γ 1 , ..., γ l ) T
le vecteur des l coefficients de régression du poids de la composante i. Ainsi le vecteur des
paramètres à estimer vaut ψ = (γ1 T , ..., γT G , βT 1 , ..., βT G )T . Pour effectuer l’estimation de ψ, il
suffit donc d’insérer (3.6) et (3.7) dans les formules de l’algorithme EM qui sont valables
en toute généralité. Dans le cadre de mélange de régressions logistiques, le lecteur intéressé
par les problèmes d’identifiabilité pourra trouver son bonheur dans les travaux de Margolin
et al. (1989) et Teicher (1963), qui donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour leur
résolution. Nos futurs choix de modélisation satisfont ces conditions.
En ce qui concerne les prévisions de taux de rachat, elles sont calculées par agrégation
des décisions individuelles sur chaque pas de temps (les études seront trimestrielles). Ces
décisions étant indépendantes, le principe de calcul de l’intervalle de confiance est identique
à celui développé dans le chapitre 1. Pour connaître la décision individuelle d’un assuré,
nous regardons les probabilités a posteriori d’appartenir à chacune des composantes : selon
la règle de Bayes, l’individu appartient à la composante pour laquelle la probabilité π i (X ′ j )
d’appartenance est maximale. Etant donnée cette appartenance, nous calculons ensuite sa
probabilité de rachat p i (X j ) associée à cette composante. Si une variable explicative est incluse
dans le calcul des poids des composantes, alors la proportion de cette composante peut évoluer
en fonction de l’évolution de cette variable (introduction d’une corrélation temporelle). Dans
le cas classique où les poids ne dépendent d’aucune variable endogène ou exogène, un individu
appartient à un seul et unique groupe au cours de la vie de son contrat.
3.2 Cas pratique d’utilisation de mélange de Logit
Nous utilisons dans cet exemple les mêmes données et la même méthodologie (leur description
ayant déjà été faite) que dans l’analyse dynamique afin de construire le modèle mélange.
La période d’apprentissage représente toujours les deux tiers de la période totale, sachant
que nous validons le calibrage du modèle sur la période de validation. Nous exposons dans
cette partie les différents résultats que nous retourne l’étude par mélange dans ce contexte ;
à savoir une estimation des paramètres de chaque densité composante et leur robustesse, une
estimation des paramètres de chaque poids, une comparaison du taux de rachat observé avec
la projection par le modèle de ce taux sur l’échantillon de validation, et enfin un test de type
Kolmogorov qui permet de valider ou non la qualité des prévisions. Nous commenterons ces
résultats en y apportant une tentative de justification pratique. L’exposition de l’ensemble des
résultats se trouve dans la dernière partie (et les annexes C pour l’analyse préalable), ce qui
permettra d’illustrer la trouvaille faite dans le cadre de ce travail sur la manière de prendre en
compte les différents facteurs de risque pour diverses grandes familles de produits d’épargne
en Assurance-Vie.
Considérons donc les produits mixtes du portefeuille espagnol pour lesquels nous avons
déjà tenté une modélisation sans succès, même par l’introduction de variables financières
et économiques (graphique 2.1). La popularité des produits mixtes en Espagne n’est plus à
démontrer. Comme déjà évoqué dans les chapitres précédents, le contrat mixte est un contrat
d’épargne temporaire classique qui a l’avantage de retourner à son bénéficiaire un capital choisi
lors de la souscription, et ce quel que soit l’état de l’assuré (en vie ou décédé, d’où l’appellation
“mixte” de cette garantie). Ce type de contrat est très répandu sur le marché espagnol où il a
rencontré un vif succès, bien que son prix soit plus élevé qu’un pur contrat d’épargne puisque
le risque encouru par l’assuré est plus faible. Les variables disponibles et la période d’étude
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