Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Annexe D. Espace des paramètres des GLMs
D.2 Mélange de régressions de Poisson
D.2.1
Décomposition de la log-vraisemblance L cc
La log-vraisemblance classifiante conditionnelle log L cc (ψ G ; y j ) peut s’écrire pour une observation
y j comme la somme de deux termes :
( G [ ]
∑
log π i e −eX j β i e
X j β yj i
y
i=1
j !
} {{ }
A i
D.2.2
} {{ }
A
)
+
[ ]
G∑
π i e −eX j β i e
X j β yj
⎛
[ ]
i
y j !
π i e −eX j β i e
X j β yj
⎞
i y j !
[ ]
∑ G
k=1 π k e −eX j β k e
X j β yj log ⎜
[ ]
k ⎝∑ G
k=1
y j !
π k e −eX j β k e
X j β yj ⎟ .
k ⎠
y j !
} {{ }
i=1
b i
} {{ }
}
B i =b i log b i
{{ }
B= P i B i
Calcul des limites et des cas critiques
La loi de Poisson n’ayant qu’un paramètre, seules les limites de β i en l’infini et son opposé
seront d’intérêt ici. L’étude de ces limites équivaut à faire tendre la moyenne de la distribution
de Poisson vers les extrêmes de son domaine de définition (0 et l’infini).
Calcul de la limite :
lim log L cc(ψ G ; y j )
β i →−∞
→ Tout d’abord, lim A i = 0. Par conséquent, si tous les β i (i = 1, ..., G) ne tendent pas
β i →−∞
vers moins l’infini en même temps alors lim A = K.
β i →−∞
→ Par le même raisonnement que précédemment, nous obtenons lim b i = 0 et lim B =
β i →−∞ β i →−∞
K.
⇒ Finalement,
Calcul de la limite :
lim log L ∂ log L cc (ψ G ; y j )
cc(ψ G ; y j ) = K et lim
= +∞.
β i →−∞ β i →−∞ ∂β i
lim log L cc(ψ G ; y j )
β i →+∞
→ Nous avons une forme indéterminée “0 × +∞” dans la limite lim A i. Pour lever cette
β i →+∞
indétermination, observons que A i peut aussi s’écrire après quelques calculs
A i = π [ ( )]
i
y j ! exp e X Xj
jβ i
β i
e X − 1 .
jβ i
Ainsi, nous avons le résultat
lim A i = 0.
β i →+∞
→ Toujours par le même raisonnement,
⇒ Finalement, on a
lim b i = 0 et lim B = K.
β i →+∞ β i →+∞
lim log L ∂ log L cc (ψ G ; y j )
cc(ψ G ; y j ) = K et lim
= +∞.
β i →+∞ β i →+∞ ∂β i
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