Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 2. Crises de corrélation des comportements
général est de racheter (I 0 = 1), alors pour M valant un entier k ∈ 0, n, le nombre N d’assurés
“moutons” doit être inférieur ou égal à k, sinon nous aurions M ≥ N > k. Par le même
raisonnement, si le comportement moutonnier consiste à ne pas racheter (I 0 = 0), alors pour
M égal à un entier k ∈ 0, n, le nombre N d’assurés “moutons” doit être inférieur ou égal à
n − k, sinon nous aurions M ≤ n − N < n − (n − k) = k. Nous obtenons à partir de la formule
des probabilités totales que pour 0 ≤ k ≤ n,
P (M = k) = P (M = k | I 0 = 0)P (I 0 = 0) + P (M = k | I 0 = 1)P (I 0 = 1)
=
k∑
P (M = k | I 0 = 1, N = i) P (I 0 = 1, N = i)
i=0
∑
P (M = k | I 0 = 0, N = j) P (I 0 = 0, N = j) .
n−k
+
j=0
L’indépendance mutuelle entre les (J k ) k≥1 et les (I ⊥ l
) l≥1 , avec 0 ≤ k ≤ n entraîne que
P (M = k) = p
k∑
n−k
∑
a i,k + (1 − p) b j,k ,
i=0
j=0
avec pour 0 ≤ i ≤ k,
et pour 0 ≤ j ≤ n − k
a i,k = C i np i 0(1 − p 0 ) n−i C k−i
n−i pk−i (1 − p) n−k ,
b j,k = C j np j 0 (1 − p 0) n−j C k n−jp k (1 − p) n−j−k .
Remarquons que pour k fixé, les a i,k , 0 ≤ i ≤ k et les b j,k , 0 ≤ j ≤ n − k peuvent être calculés
grâce aux formules récursives suivantes : pour 0 ≤ i ≤ k, nous avons
a i+1,k
a i,k
= Ci+1 n
Cn
i
p 0 Cn−i−1
k−i−1
p (1 − p 0 ) Cn−i
k−i
= k − i
i + 1
p 0
p (1 − p 0 )
et pour 0 ≤ j ≤ n − k, nous avons
b j+1,k
b j,k
= Cj+1 n
Cn
j
p 0 Cn−j−1
k
(1 − p) (1 − p 0 ) Cn−j
k
= n − j − k
j + 1
p 0
(1 − p) (1 − p 0 ) .
Notons qu’il est préférable de commencer avec a i0 and b j0 tels que a i0 and b j0 soient assez
grands dans le but de minimiser les erreurs d’arrondis lors du calcul de
a 0 = b 0 = (1 − p 0 ) n C k np k (1 − p) n−k
qui sont en général assez petits. Viquerat (2010) propose des algorithmes efficaces (et leur
précision) pour effectuer ce type de calcul.
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