Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

D.3 Mélange de régressions logistiques
D.3.1
Décomposition de la log-vraisemblance L cc
D.3. Mélange de régressions logistiques
La log-vraisemblance classifiante conditionnelle log L cc (ψ G ; y j ) peut s’écrire pour une observation
y j comme la somme de deux termes :
e
( ∑
G e X jβ i ) G∑
jβ i
⎛
e X jβ i
⎞
π i
log L cc (ψ G ; y j ) = log π i
1 + e X +
1 + e X jβ i
π i
jβ i ∑
i=1 } {{ } i=1 G
k=1 π e X log ⎜ 1 + e X jβ i
⎟
jβ k ⎝∑ G
k
A
} {{
i
1 + e X jβ k
k=1 π e X jβ k ⎠
k
} } {{ }
1 + e X jβ k
A
}
b i
{{ }
}
B i =b i log b i
{{ }
B= P i B i
D.3.2
Calcul des limites et des cas critiques
La loi Binomiale comporte deux paramètres. Cependant, l’un des deux correspond à l’exposition
du portefeuille, et est donc fixé. N’ayant qu’un paramètre variable, seules les limites
de β i en l’infini et son opposé seront étudiées : ceci équivaut à faire tendre la probabilité de
rachat vers les extrêmes de son domaine de définition (0 et 1).
Calcul de la limite :
lim log L cc(ψ G ; y j )
β i →−∞
→ Tout d’abord, lim A i = 0. Par conséquent, si tous les β i (i = 1, ..., G) ne tendent pas
β i →−∞
vers moins l’infini en même temps alors lim A = K.
β i →−∞
→ Par le même raisonnement que précédemment, nous obtenons lim b i = 0 et lim B =
β i →−∞ β i →−∞
K.
⇒ Finalement,
Calcul de la limite :
lim log L ∂ log L cc (ψ G ; y j )
cc(ψ G ; y j ) = K et lim
= +∞.
β i →−∞ β i →−∞ ∂β i
lim log L cc(ψ G ; y j )
β i →+∞
→ Nous avons une forme indéterminée “ +∞ ” dans la limite lim
+∞ A i. Pour lever cette indétermination,
observons que A i peut aussi s’écrire après factorisation
β i →+∞
( )
1
A i = π i
1 + e −X .
jβ i
Ainsi, on a immédiatement : lim A i = π i .
β i →+∞
→ D’autre part, lim b i = K et lim B = K ′ .
β i →+∞ β i →+∞
⇒ Finalement, on a
lim log L ∂ log L cc (ψ G ; y j )
cc(ψ G ; y j ) = K et lim
= K ′ .
β i →+∞ β i →+∞ ∂β i
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