Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.3. Extension aux mélanges de GLMs
Quel que soit g et n, soit
ˆψ
MLccE
g
=
ˆψ
MLccE
g (Y 1 , ..., Y n ) ∈ Ψ g un estimateur tel que
Sélectionnons ĝ tel que
ln L cc (
MLccE ˆψ g ; Y ) ≥ ln L cc (ψg; b Y ) − o P (n);
Alors
MLccE
ĝ = arg min{− ln L cc ( ˆψ g ; y) + pen(K g )},
1≤g≤m
P(ĝ ≠ g b ) −→
n→∞
0.
Démonstration. Elle reprend les mêmes ingrédients que la preuve du théorème 7, tout en
insérant les preuves des lemmes et corollaires que nous venons de voir pour satisfaire les
hypothèses (H1-C) à (H4-C). Il n’y a donc pas de difficulté particulière.
4.3 Extension aux mélanges de GLMs
Quelques auteurs s’intéressent actuellement aux mélanges de modèles linéaires généralisés ;
notamment Grun and Leisch (2004), Grun and Leisch (2007), Grun and Leisch (2008) et
Leisch (2008). Ils développent en parallèle une librairie R dont nous nous servirons dans
les applications, nommée “flexmix”, et étudient aussi bien les problèmes d’identifiabilité que
ceux d’estimation des paramètres. Par exemple, Leisch (2008) montre dans une partie de
ses travaux à quel point certains points aberrants dans les observations peuvent affecter la
distribution du mélange final. L’élément qui ressort de notre étude bibliographique est qu’il
n’existe aucun développement théorique sur les propriétés d’un critère de sélection pour modèle
mélange de GLMs satisfaisant des objectifs de classification. Nous proposons ici de démontrer
la convergence du critère ICL c dans le cadre de la sélection de mélange de GLMs. Cette
convergence sera établie au prix de certaines hypothèses inhérentes à cette classe de modèles.
4.3.1 Les GLMs : présentation et concepts
Nous avons déjà utilisé la régression logistique dans les chapitres précédents, sans pour
autant l’introduire dans un contexte plus général que sont les modèles linéaires généralisés.
Il nous apparaît indispensable de présenter de manière formalisée cette extension naturelle,
puisque nous allons par la suite démontrer des résultats sur cette famille de modèles. Les
GLMs incluent non seulement la régression linéaire, mais aussi les modèles d’analyse de variance
(ou modèles factoriels), les modèles logit et probit pour des variables réponses sous
forme de taux, les modèles log-linéaires pour les données de comptage ou encore les modèles
à réponse multinomiale.
En pratique les mesures que nous utilisons comme variable réponse contiennent des erreurs
dont la distribution n’est pas forcément gaussienne, ce qui explique en grande partie l’utilité
des GLMs. En Actuariat, ces modèles sont très populaires car ils ont permis le développement
de techniques sophistiquées de tarification, permettant aux assureurs d’effectuer une segmentation
des risques de leur portefeuille (Ohlson and Johansson (2010)). La suite de l’introduction
à ces modèles est fortement inspirée du livre de référence en la matière, McCullagh and Nelder
(1989), ainsi que de la présentation synthétique proposée dans Dutang (2011). Cette partie
n’a pas vocation à être exhaustive, mais doit donner au lecteur les éléments suffisants pour sa
compréhension des paragraphes traitant de la sélection de mélange de GLMs.
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