Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

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Annexe B. Méthodes de segmentation Figure B.2 – Construction d’un arbre binaire choisissons le plus petit. La table B.1 permet de tracer l’erreur d’apprentissage en fonction du paramètre de complexité et de la taille de l’arbre (voir figure B.3). Remarque B.1.1. Quelques commentaires sur la lecture de ce tableau : • le troisième arbre avec deux divisions correspond à α ∈]2.30, 3.10] , • R normalise l’erreur, ce qui explique que l’erreur de la racine soit de 100% (1). La vraie erreur de la racine peut être obtenue en affichant l’arbre (ici elle est de 45.465%), • l’arbre maximal T max (non élagué) retourné par défaut par la fonction rpart() correspond à la dernière ligne de la cptable. CP nsplit rel error xerror xstd CP nsplit rel error xerror xstd 3.3981e-01 0 1.000 1.000 0.0084 1.9559e-04 59 0.312 0.332 0.0060 3.0539e-01 1 0.660 0.660 0.0077 1.8255e-04 68 0.310 0.332 0.0060 5.9982e-03 2 0.354 0.361 0.0062 1.3040e-04 73 0.309 0.332 0.0060 7.8237e-04 5 0.336 0.337 0.0061 1.0432e-04 82 0.308 0.332 0.0060 5.2158e-04 10 0.331 0.333 0.0060 9.7796e-05 88 0.307 0.333 0.0060 4.5638e-04 15 0.328 0.333 0.0060 8.6930e-05 97 0.306 0.334 0.0060 3.9119e-04 19 0.326 0.333 0.0060 6.5198e-05 100 0.306 0.334 0.0060 3.6945e-04 21 0.325 0.333 0.0060 4.3465e-05 117 0.305 0.337 0.0061 3.2599e-04 32 0.319 0.333 0.0060 3.7256e-05 132 0.304 0.339 0.0061 3.1295e-04 34 0.318 0.333 0.0060 3.2599e-05 139 0.304 0.340 0.0061 2.6079e-04 39 0.317 0.332 0.0060 2.6079e-05 159 0.303 0.340 0.0061 2.1733e-04 53 0.31360 0.334 0.0060 0.0000e+00 174 0.303 0.341 0.0061 Table B.1 – Paramètres de complexité, cptable 190
B.1.3 Plus loin dans la théorie des CART Spécification des règles binaires B.1. Méthode CART Criterion 1. Ces règles dépendent seulement d’un seuil µ et d’ une variable x l , 1 ≤ l ≤ d : – x l ≤ µ, µ ∈ R dans le cas d’une variable continue ordonnée (si nous avons m valeurs distinctes pour x l , l’ensemble des valeurs possibles card(D) vaut M - 1) ; – x l ∈ µ où µ est un sous-ensemble de {µ 1 , µ 2 , ..., µ M } et les µ m sont les modalités de la variable catégorielle (dans ce cas le cardinal du sous-ensemble D des règles binaires vaut 2 M−1 − 1). Qu’est ce qu’une fonction d’impureté ? Définition. Une fonction d’impureté est une fonction réelle g définie sur un ensemble de probabilités discrètes d’un ensemble fini : symétrique en p 1 , p 2 , ..., p J et qui vérifie : g : (p 1 , p 2 , ..., p J ) → g(p 1 , p 2 , ..., p J ), 1. le maximum de g est à l’équiprobabilité : argmax g(p 1 , p 2 , ..., p J ) = ( 1 J , 1 J , ..., 1 J ) , 2. le minimum de g est obtenu par les “dirac" : argmin g(p 1 , p 2 , ..., p J ) ∈ {e 1 , ..., e J }, où e j est le j eme élément dans la base canonique deR J . Différentes fonctions d’impureté D’habitude nous considérons les fonctions suivantes (qui satisfont le critère de concavité) : • impur(t) = - ∑ J j=1 p(j|t) ln(p(j|t)) ; cp size of tree 1 2 3 6 16 22 35 54 69 83 98 118 140 175 X-val Relative Error 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Inf 0.043 0.00049 0.00032 0.00019 1e-04 5.3e-05 0 Figure B.3 – L’estimateur du taux de mauvaise classification de l’arbre optimal en fonction du paramètre de complexité cp (ou α). T max contient ici 175 feuilles et correspond à cp = 0. Remarquez la forme avec un forte pente négative suivie d’un plateau, puis une légère remontée de l’erreur. 191
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