Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

2.2. Impact de crises de corrélation des comportements
d’information des assurés, de la réputation de la compagnie et du secteur de l’Assurance. Ce
facteur serait d’ailleurs déterminant pour comprendre la corrélation des risques de rachat avec
d’autres risques tels que le risque de défaut via la matrice de corrélation d’un modèle interne.
La crise du marché action et des produits dérivés a été suivie par une crise de corrélation : dans
la plupart des cas, la corrélation grandit lors de scénarios défavorables. Il est probable qu’une
situation extrême des taux d’intérêts conduise à des rachats massifs (tout du moins anormaux)
suivant certaines déclarations politiques ou d’autres facteurs d’environnement (presse...). Par
exemple l’une des premières phrases prononcée par les décideurs de pays développés suite au
déclenchement de la crise fût : Nous garantissons l’épargne des contribuables. Cette attitude
trahit leur crainte : ils anticipent des comportements extrêmes (loi binaire 0-1) plutôt qu’un
comportement moyenné (gaussien).
Nous nous appliquons dans la suite à développer un modèle simple qui tienne compte de ces
crises de corrélation : quand ∆r grandit, la corrélation entre les décisions des assurés grandit et
l’on passe d’une distribution en cloche en régime classique à une distribution bimodale quand
∆r devient grand. Nous présentons en premier lieu le modèle et son interprétation, puis des
simulations et des formules analytiques de calcul de la distribution des taux de rachats sont
fournies. Des résultats qualitatifs de l’impact de la corrélation sur la distribution du taux de
rachat sont développés via l’usage des ordres stochastiques, dans une optique de gestion de
risque et de provisionnement basé sur un modèle interne partiel.
2.2.1 Le modèle
Supposons que les assurés se comportent indépendamment avec un taux moyen de rachat
µ(0) quand ∆r vaut zéro, que le taux moyen de rachat vaut 1 − ɛ avec ɛ très petit quand ∆r
est très grand (disons 15%), et que la corrélation entre les décisions individuelles vaut 1 − η,
avec η très petit. Le modèle suivant capture ces notions : soit I k une variable aléatoire qui
prend la valeur 1 si le k ème assuré rachètent son contrat, 0 sinon. Supposons que
I k = J k I 0 + (1 − J k )I ⊥ k ,
où J k correspond à l’indicatrice de l’événement “le k ème assuré a un comportement moutonnier”,
I 0 est un consensus collectif de décision de rachat, et Ik
⊥ est une décision de rachat
propre à l’assuré k. La variable aléatoire J k suit une loi de Bernoulli dont le paramètre p 0 est
croissant en ∆r, et I 0 , I1 ⊥, I⊥ 2 , ... sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement
distribuées (i.i.d.), dont le paramètre p est aussi croissant en ∆r. Ainsi la probabilité de rachat
croît avec ∆r, et la corrélation (τ de Kendall ou ρ de Spearman) entre I k et I l (pour k ≠ l)
est égale à P (J k = 1 | ∆r = x) quand ∆r = x. Sans conditionner et donc en toute généralité,
la corrélation entre I k et I l (pour k ≠ l) vaut
∫ +∞
0
P (J k = 1 | ∆r = x) dF ∆r (x).
En effet sachant ∆r = x, I k et I l (pour k ≠ l) admettent une copule de Mardia (somme linéaire
de la copule indépendante et de la borne supérieure de Fréchet) 7 . L’hypothèse gaussienne est
plutôt juste quand ∆r = 0 pour un portefeuille de 20 000 assurés. Nous allons voir avec des
valeurs réalistes pour la courbe en S comment lorsque ∆r augmente, la densité des taux de
rachat évolue progressivement d’une forme en cloche vers une densité bimodale à partir d’un
7. la copule d’I k et I l (pour k ≠ l) n’est pas unique car leurs distributions ne sont pas continues.
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