Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

1.2. Segmentation par modèle logistique (Logit)
A partir de (1.12) et (1.13), nous obtenons l’intervalle de confiance de la probabilité de rachat
ˆp i = Ni s/n i du i e groupe homogène en utilisant celui de la distribution gaussienne. Le nombre
total de rachats N s du portefeuille est la somme des rachats de chaque sous-groupe homogène :
N s = ∑ i N i s. Or la loi Normale est stable par somme, donc N s est toujours normalement
distribué. Nous avons donc finalement une bonne approximation de la probabilité de rachat
du portefeuille ˆp = N s /n par
ˆp = 1 ∑ ( 1 ∑
Ni s ∼ N n i p j , 1 ∑
)
n
n n 2 n i p j (1 − p j ) ,
i
qui conduit logiquement à l’intervalle de confiance (au niveau 5%)
i
[A − 1.96 B , A + 1.96 B] (1.14)
∑
i
où A =
n √∑
i p j
i
, B =
n i p j (1 − p j )
n
n 2 , i est l’indice des sous-groupes homogènes, et p j est
la probabilité de rachat correspondante estimée.
Pour des soucis de concision, nous ne présentons pas ici les tests statistiques conduisant à la
validation du modèle. Le test du ratio de vraisemblance (pour la validation du modèle) et de
Wald (pour la pertinence des covariables) sont détaillés en annexe B.2.5.
1.2.3 Interprétations des résultats
Les valeurs estimées des coefficients de régression nous renseignent sur l’impact de chaque
facteur de risque. L’ordonnée à l’origine β 0 correspond à la valeur de z pour le profil de risque
de référence : c’est la moyenne de la réponse lorsque les covariables du prédicteur valent les
modalités de référence pour les variables catégorielles, et sont nulles pour les variables continues
(à condition d’avoir centré ces covariables continues en amont, sinon lorsqu’elles valent leur
moyenne). Les coefficients β k (k = 1,2,...,p) décrivent la contribution de chaque risque : un
β k positif signifie que si le facteur de risque augmente alors la probabilité de rachat augmente
(corrélation positive), alors que s’il est négatif l’évolution se fait en sens inverse. Si la valeur
absolue de β k /σ(β k ) (où σ(β k ) est l’écart-type de l’estimation du coefficient) est grande, alors
le facteur de risque k a une forte influence sur la probabilité de rachat, et inversement. Ces
coefficients sont à comparer au profil de risque de référence, pour lequel β = 0 (sauf pour β 0 ).
Les praticiens aiment bien utiliser le rapport de côte (OR pour “odd-ratio”), car il exprime
le rapport entre les chances de racheter ou non (p/(1-p)). Prenons un exemple d’illustration :
la probabilité de rachat P (Y =1|X) vaut p = 0, 7. L’OR vaut donc p/q=0.7/0.3=2.33, ce qui
veut dire qu’avec les mêmes caractéristiques X, le rachat a 2,33 fois plus de chance de se
produire que le non-rachat. Cette idée se généralise lorsque les professionnels veulent évaluer
la différence en termes de probabilité de rachat avec un changement des caractéristiques entre
deux individus. Prenons comme exemple l’âge : grâce à l’équation (1.11), nous savons que
p/q = e β 0+β 1 X age
est l’OR pour un assuré donné. Lors de la comparaison de deux individus
ne différant que par leur âge (40 et 30 ans), tous les termes disparaissent excepté l’âge, ce qui
donne un OR entre les deux individus de
P (Y = 1|X age = 40)
P (Y = 0|X age = 40) / P (Y = 1|X age = 30)
P (Y = 0|X age = 30) = e40β 1
e 30β 1 = e10β 1
Nous constatons que la variation des valeurs de variables explicatives entraîne un effet
multiplicatif du risque, par des constantes liées aux coefficients de régression. Ces OR sont un
outil opérationnel très utile (car simple) pour la définition de classe de risque.
i
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