Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

D.1. Mélange de régressions linéaires
Calcul de la limite :
lim
σ 2 i →0+ log L cc (ψ G ; y j )
→ Lorsque nous calculons lim
σ 2 i →0 A i , nous avons une forme indéterminée (F.I) de type “+∞×0”.
Pour lever cette F.I., nous pouvons écrire A i d’une autre manière : en effet après quelques
transformations,
[
A i = π i exp − 1 2
1
σ 2 i
(
(yj − X j β i ) 2 + σ 2 i log(2πσ 2 i ) )] .
Nous avons donc grâce à cette expression lim A i = 0.
σi 2→0 Par conséquent, lim log A = lim log(A 1 + ... + A i + ... + A G ) = K dans le cas général.
σi 2→0 σi 2→0 → Sachant que b i = A i /A, nous avons encore une fois lim b i = 0 et lim B = K ′ .
σi 2→0 σi 2→0 ⇒ Finalement,
∂ log L cc (ψ G ; y j )
lim log L cc (ψ G ; y j ) = K et lim
σi 2→0+ σi 2→0+ ∂σi
2 = ∞.
ATTENTION : il existe des cas particuliers pour lesquels la première des deux limites ci-dessus
est fausse. Par exemple, si l’observation y j vaut la moyenne X j β i et que la variance tend vers
0, la vraisemblance explose. Nos résultats s’inscrivent dans un cadre général mais n’ont pas
vocation à étudier tous les cas particuliers.
Calcul de la limite :
lim log L cc (ψ G ; y j )
σi 2→+∞ → Tout d’abord, lim A i = 0. Par conséquent, il vient lim A = K.
σi 2→+∞ σi 2→+∞ → Par le même raisonnement que quand β i → +∞, nous obtenons lim b i = 0 et lim B =
σi 2→+∞ σi 2→+∞ K.
⇒ Finalement, il vient donc
∂ log L cc (ψ G ; y j )
lim log L cc (ψ G ; y j ) = K et lim
σi 2→+∞ σi 2→+∞ ∂σi
2 = ∞.
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