Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 2. Crises de corrélation des comportements
Démonstration. Cette proposition découle de résultats élémentaires sur les ordres stochastiques
impliquant des distributions Binomiales et de Bernoulli.
Proposition 4. Lorsque la probabilité individuelle de rachat p est fixée, le paramètre de corrélation
induit un ordre 2-convex du nombre de rachats : pour p ∈ (0, 1) fixé, si p 0 < p ′ 0
alors
M (p,p0 ) ≤ 2 M (p,p ′
0
).
Démonstration. Sachant que le nombre de comportements moutonniers N vaut k, le nombre
total de rachats est
M (p,k) = k.I 0 + 0.I ⊥ 1 + 0.I ⊥ 2 + ... + 0.I ⊥ k + 1.I⊥ k+1 + ... + 1.I⊥ n .
Sachant que N = k ′
avec k ≤ k ′ , nous avons
M (p,k ′ ) = k ′ .I 0 + 0.I ⊥ 1 + ... + 0.I ⊥ k + ... + 0.I⊥ k ′ + 1.I⊥ k ′ +1 + ... + 1.I⊥ n .
Nous pouvons comparer les deux variables aléatoires M (p,k) et M (p,k ′ ) par un ordre de majorisation
(voir par exemple Marshall and Olkin (1979)). Notons Z ↓ = (z ↓ 1 , . . . , z↓ K
) le vecteur
des mêmes composantes que Z (quelconque) classées en ordre décroissant. Connaissant deux
vecteurs Y = (y 1 , . . . , y K ) et Z = (z 1 , . . . , z K ) de taille K ≥ 1 tels que
K∑
y i =
i=1
K∑
z i ,
i=1
rappelons que Z est dit majorant Y si pour tout j ≤ K,
j∑
y ↓ i ≤
i=1
j∑
z ↓ i .
i=1
D’après Marshall and Olkin (1979), si le vecteur α = (α 0 , ..., α n ) est plus petit que le
vecteur β = (β 0 , ..., β n ) dans l’ordre de majorisation partielle, et si les X i sont i.i.d., alors nous
obtenons l’ordre convexe suivant :
∑ ∑
α i X i ≤ 2 β i X i .
i
i
Nous posons X i = I ⊥ i
et
(α 0 , ..., α n ) = (k, 0, ..., 0, 1, ..., 1) et (β
} {{ }
0 , ..., β n ) = (k ′ , 0, ..., 0, 1, ..., 1).
} {{ }
k fois
k ′ fois
Pour k ≤ k ′ , le vecteur (β 0 , ..., β n ) majore clairement le vecteur (α 0 , ..., α n ). De plus, la variable
aléatoire (N ∼ Bin(n, p 0 )) est stochastiquement croissante en p 0 . Nous pouvons donc conclure
que pour p 0 ≤ p ′ 0 , M (p,p0 ) ≤ 2 M (p,p ′
0
),
où M (p,p0 ) est le nombre d’assurés qui rachètent quand la probabilité de se comporter en
mouton vaut p 0 et quand la probabilité individuelle de rachat est p.
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